试题

（2011·金山区二模）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，求∠PAC正切值；
（3）若以A、P、C、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．

解：（1）由题意得：

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；

（2）y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∴PA=2

5

，PC=

2

，AC=3

2

，
∵PA²=PC²+AC²
∴∠PCA=90°，
∴tan∠PAC=

PC

AC

=

2

3 2

=

1

3

；

（3）∵直线AC的解析式是：y=x+3，
直线AP的解析式是：y=2x+6，
直线PC的解析式是：y=-x+3，
当AC是平行四边形的一条对角线时：
PC∥AM，AP∥CM，
∴利用两直线平行k的值相等，即可得出：
直线MC的解析式是：y=2x+3，
直线AM的解析式是：y=-x-3，
∴M（-2，-1），
当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴M（2，7），
当AP是平行四边形的一条对角线时：∴M（-4，1），
∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．
解：（1）由题意得：

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；

（2）y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∴PA=2

5

，PC=

2

，AC=3

2

，
∵PA²=PC²+AC²
∴∠PCA=90°，
∴tan∠PAC=

PC

AC

=

2

3 2

=

1

3

；

（3）∵直线AC的解析式是：y=x+3，
直线AP的解析式是：y=2x+6，
直线PC的解析式是：y=-x+3，
当AC是平行四边形的一条对角线时：
PC∥AM，AP∥CM，
∴利用两直线平行k的值相等，即可得出：
直线MC的解析式是：y=2x+3，
直线AM的解析式是：y=-x-3，
∴M（-2，-1），
当PC是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴M（2，7），
当AP是平行四边形的一条对角线时：∴M（-4，1），
∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．