试题

（2009·沧浪区一模）如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．
（1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状；
（2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．

解：（1）△AMN是直角三角形．
依题意得OA=2，OM=4，ON=1，
∴MN=OM+ON=4+1=5
在Rt△AOM中，AM=

OA2+OM2

=

22+42

=2

5

在Rt△AON中，AN=

OA2+ON2

=

22+12

=

5

∴MN²=AM²⁺AN²
∴△AMN是直角三角形（解法不惟一）．（2分）

（2）答：（1）中的结论还成立．
依题意得OA=2，OM=-m，ON=n
∴MN=OM+ON=n-m
∴MN²=（n-m）²⁼n²-2mn+m²
∵mn=-4
∴MN²⁼n²-2×（-4）+m²=n²+m²⁺8
又∵在Rt△AOM中，AM=

OA2+OM2

=

22+(-m)2

=

4+m2

在Rt△AON中，AN=

OA2+ON2

=

22+n2

=

4+n2

∴AM²⁺AN²⁼4+m²+4+n²=n²+m²⁺8
∴MN²⁼AM²⁺AN²
∴△AMN是直角三角形．（解法不惟一）（2分）

（3）∵mn=-4，n=4，
∴m=-1．
方法一：设抛物线的函数关系式为y=ax²+bx+c．
∵抛物线经过点M（-1，0）、N（4，0）和A（0，2）
∴

a-b+c=0 42a+4b+c=0 c=2

．
∴

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-

1

2

x²⁺

3

2

x+2．
方法二：设抛物线的函数关系式为y=a（x⁺1）（x^-4）．
∵抛物线经过点A（0，2）
∴-4a=2解得a=-

1

2

∴所求抛物线的函数关系式为y=-

1

2

（x+1）（x-4）
即y=-

1

2

x²⁺

3

2

x+2．（2分）

（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q₁符合条件，
∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ₁，
∴Rt△PNQ₁∽Rt△ANM
∵抛物线的对称轴为直线x=

3

2

，
∴Q₁（

3

2

，0）（2分）
∴NQ₁=4-

3

2

=

5

2

．
过点N作NQ₂⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q₂．
∴Rt△PQ₂N、Rt△NQ₂Q₁、Rt△PNQ₁和Rt△ANM两两相似
∴

Q1Q2

AN

=

Q1N

AM

即Q₁Q₂₌

Q1N

AM

·AN=

5 2

5

·

22+42

=5
∵点Q₂位于第四象限，
∴Q₂（

3

2

，-5）（2分）
因此，符合条件的点有两个，
分别是Q₁（

3

2

，0），Q₂（

3

2

，-5）．
（解法不惟一）
解：（1）△AMN是直角三角形．
依题意得OA=2，OM=4，ON=1，
∴MN=OM+ON=4+1=5
在Rt△AOM中，AM=

OA2+OM2

=

22+42

=2

5

在Rt△AON中，AN=

OA2+ON2

=

22+12

=

5

∴MN²=AM²⁺AN²
∴△AMN是直角三角形（解法不惟一）．（2分）

（2）答：（1）中的结论还成立．
依题意得OA=2，OM=-m，ON=n
∴MN=OM+ON=n-m
∴MN²=（n-m）²⁼n²-2mn+m²
∵mn=-4
∴MN²⁼n²-2×（-4）+m²=n²+m²⁺8
又∵在Rt△AOM中，AM=

OA2+OM2

=

22+(-m)2

=

4+m2

在Rt△AON中，AN=

OA2+ON2

=

22+n2

=

4+n2

∴AM²⁺AN²⁼4+m²+4+n²=n²+m²⁺8
∴MN²⁼AM²⁺AN²
∴△AMN是直角三角形．（解法不惟一）（2分）

（3）∵mn=-4，n=4，
∴m=-1．
方法一：设抛物线的函数关系式为y=ax²+bx+c．
∵抛物线经过点M（-1，0）、N（4，0）和A（0，2）
∴

a-b+c=0 42a+4b+c=0 c=2

．
∴

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-

1

2

x²⁺

3

2

x+2．
方法二：设抛物线的函数关系式为y=a（x⁺1）（x^-4）．
∵抛物线经过点A（0，2）
∴-4a=2解得a=-

1

2

∴所求抛物线的函数关系式为y=-

1

2

（x+1）（x-4）
即y=-

1

2

x²⁺

3

2

x+2．（2分）

（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q₁符合条件，
∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ₁，
∴Rt△PNQ₁∽Rt△ANM
∵抛物线的对称轴为直线x=

3

2

，
∴Q₁（

3

2

，0）（2分）
∴NQ₁=4-

3

2

=

5

2

．
过点N作NQ₂⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q₂．
∴Rt△PQ₂N、Rt△NQ₂Q₁、Rt△PNQ₁和Rt△ANM两两相似
∴

Q1Q2

AN

=

Q1N

AM

即Q₁Q₂₌

Q1N

AM

·AN=

5 2

5

·

22+42

=5
∵点Q₂位于第四象限，
∴Q₂（

3

2

，-5）（2分）
因此，符合条件的点有两个，
分别是Q₁（

3

2

，0），Q₂（

3

2

，-5）．
（解法不惟一）