试题

已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P是抛物线y=

1

4

x²上的一个动点．
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；
（2）设直线PM与抛物线y=

1

4

x²的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM．

解：（1）设点P的坐标为（x₀，

1

4

x²₀），则
PM=

x 2 0 +( 1 4 x 2 0 -1)2

=

1

4

x²₀+1；
又因为点P到直线y=-1的距离为，

1

4

x²₀-（-1）=

1

4

x²₀+1
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．

（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R．

由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，
所以，PH∥MN∥QR，
于是

QM

RN

=

MP

NH

，
所以

QR

RN

=

PH

HN

，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．
解：（1）设点P的坐标为（x₀，

1

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x²₀），则
PM=

x 2 0 +( 1 4 x 2 0 -1)2

=

1

4

x²₀+1；
又因为点P到直线y=-1的距离为，

1

4

x²₀-（-1）=

1

4

x²₀+1
所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．

（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R．

由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1，
所以，PH∥MN∥QR，
于是

QM

RN

=

MP

NH

，
所以

QR

RN

=

PH

HN

，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．