试题

已知：点A（6，0），B（0，3），线段AB上一点C，过C分别作CD⊥x轴于D，作CE⊥y轴于E，若四边形ODCE为正方形．
（1）求点C的坐标；
（2）若过点C、E的抛物线y=ax²+bx+c的顶点落在正方形ODCE内（包括四边形上），求a的取值范围；
（3）在（2）题的抛物线中与直线AB相交于点C和另一点P，若△PEC∽△PBE，求此时抛物线的解析式．

解：（1）设直线AB的函数解析式：y=kx+b
则

6k+b=0 b=3

，
解得

k=- 1 2 b=3

，
∴y=-

1

2

x+3．（2分）
由题意可设C（a，a），则有-

1

2

a+3=a，
解得a=2，
∴C（2，2）．（3分）

（2）由（1）可得E（0，2）
∵抛物线的顶点在正方形内，且过C，E两点，
∴a＞0，且抛物线的对称轴为x=1，（14分）
∵

4a+2b+c=2 c=2

，
即b=-2a，
∴顶点纵坐标；

4ac-b2

4a

=

4a×2-4a2

4a

=2-a．（5分）
∴由题意得0≤2-a＜2，
解得0＜a≤2．（6分）

（3）∵△PEC∽△PBE
∴

PE

PC

=

PB

PE

=

BE

EC

=

1

2

，∠PEB=∠ECB．（8分）
过点P作PH⊥EB于点H，可知△PEH∽△CBE
∴

PH

HE

=

BE

EC

=

1

2

∴可设P（m，-2m+2）
∵P在直线y=-

1

2

x+3上，
∴-

1

2

m+3=-2m+2，
解得m=-

2

3

（10分）
∴P（-

2

3

，

10

3

），
设抛物线y=a（x-1）²+k，可知

a+k=2 25 9 a+k= 10 3

．
解得

a= 3 4 k= 5 4

，
∴y=

3

4

(x-1)2+

5

4

．（12分）
解：（1）设直线AB的函数解析式：y=kx+b
则

6k+b=0 b=3

，
解得

k=- 1 2 b=3

，
∴y=-

1

2

x+3．（2分）
由题意可设C（a，a），则有-

1

2

a+3=a，
解得a=2，
∴C（2，2）．（3分）

（2）由（1）可得E（0，2）
∵抛物线的顶点在正方形内，且过C，E两点，
∴a＞0，且抛物线的对称轴为x=1，（14分）
∵

4a+2b+c=2 c=2

，
即b=-2a，
∴顶点纵坐标；

4ac-b2

4a

=

4a×2-4a2

4a

=2-a．（5分）
∴由题意得0≤2-a＜2，
解得0＜a≤2．（6分）

（3）∵△PEC∽△PBE
∴

PE

PC

=

PB

PE

=

BE

EC

=

1

2

，∠PEB=∠ECB．（8分）
过点P作PH⊥EB于点H，可知△PEH∽△CBE
∴

PH

HE

=

BE

EC

=

1

2

∴可设P（m，-2m+2）
∵P在直线y=-

1

2

x+3上，
∴-

1

2

m+3=-2m+2，
解得m=-

2

3

（10分）
∴P（-

2

3

，

10

3

），
设抛物线y=a（x-1）²+k，可知

a+k=2 25 9 a+k= 10 3

．
解得

a= 3 4 k= 5 4

，
∴y=

3

4

(x-1)2+

5

4

．（12分）