试题

如图1，已知开口向上的抛物线C₁：y=a（x+2）²-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边，如图1所示），且AB=2

5

．

（1）求a的值；
（2）若直线y=-2x+b与抛物线C₁只有一个交点，且分别与x、y轴相交于C、D两点，求点P到直线CD的距离；
（3）如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₂．抛物线C₂的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边，如图2所示），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

解：（1）∵抛物线C₁的解析式为y=a（x+2）²-5，
∴顶点P的坐标为（-2，-5），
∵抛物线C₁：y=a（x+2）²-5与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），且AB=2

5

，
∴A（-2-

5

，0），B（-2+

5

，0）．
将点B的坐标（-2+

5

，0）代入抛物线C₁的解析式，
得0=a（-2+

5

+2）²-5，
解得，a=1．
故所求a的值为1；

（2）如图，将y=-2x+b代入y=（x+2）²-5，得-2x+b=（x+2）²-5，
整理，得x²+6x-1-b=0，
∵直线y=-2x+b与抛物线C₁只有一个交点，
∴判别式△=0，即36-4（-1-b）=0，
解得b=-10，
∴直线CD的解析式为y=-2x-10．
过点P作PE⊥CD于E，设直线PE的解析式为y=kx+n．
∵PE⊥CD，直线CD的斜率为-2，
∴k=

1

2

，
将P（-2，-5）代入y=

1

2

x+n，
得-5=

1

2

×（-2）+n，
解得n=-4．
即直线PE的解析式为y=

1

2

x-4．
解方程组

y=-2x-10 y= 1 2 x-4

，解得

x=- 12 5 y=- 26 5

，
∴E（-

12

5

，-

26

5

），
∴PE=

(-2+ 12 5 )2+(-5+ 26 5 )2

=

5

5

．
故点P到直线CD的距离

5

5

；


（3）∵抛物线C₂由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
∴点N的纵坐标为5．
设点N的坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K．
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2FG=2

5

，
∴FG=

5

，点F坐标为（m+

5

，0），点H坐标为（-2，0），点K的坐标为（m，-5）．
根据勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，PF²=PH²+HF²=m²+（2

5

+4）m+34+4

5

，NF²=5²+（

5

^）2=30．
分三种情况：
①∠PNF=90°时，PN²+NF²=PF²，解得m=10

5

-2，
∴Q点坐标为（5

5

-2，0）；
②当∠PFN=90°时，PF²+NF²=PN²，解得m=4

5

-2，
∴Q点坐标为（2

5

-2，0）；
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°．
综上所得，当Q点坐标为（5

5

-2，0）或（2

5

-2，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．
解：（1）∵抛物线C₁的解析式为y=a（x+2）²-5，
∴顶点P的坐标为（-2，-5），
∵抛物线C₁：y=a（x+2）²-5与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），且AB=2

5

，
∴A（-2-

5

，0），B（-2+

5

，0）．
将点B的坐标（-2+

5

，0）代入抛物线C₁的解析式，
得0=a（-2+

5

+2）²-5，
解得，a=1．
故所求a的值为1；

（2）如图，将y=-2x+b代入y=（x+2）²-5，得-2x+b=（x+2）²-5，
整理，得x²+6x-1-b=0，
∵直线y=-2x+b与抛物线C₁只有一个交点，
∴判别式△=0，即36-4（-1-b）=0，
解得b=-10，
∴直线CD的解析式为y=-2x-10．
过点P作PE⊥CD于E，设直线PE的解析式为y=kx+n．
∵PE⊥CD，直线CD的斜率为-2，
∴k=

1

2

，
将P（-2，-5）代入y=

1

2

x+n，
得-5=

1

2

×（-2）+n，
解得n=-4．
即直线PE的解析式为y=

1

2

x-4．
解方程组

y=-2x-10 y= 1 2 x-4

，解得

x=- 12 5 y=- 26 5

，
∴E（-

12

5

，-

26

5

），
∴PE=

(-2+ 12 5 )2+(-5+ 26 5 )2

=

5

5

．
故点P到直线CD的距离

5

5

；


（3）∵抛物线C₂由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到，
∴顶点N、P关于点Q成中心对称，
∴点N的纵坐标为5．
设点N的坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K．
∵旋转中心Q在x轴上，
∴EF=AB=2FG=2

5

，
∴FG=

5

，点F坐标为（m+

5

，0），点H坐标为（-2，0），点K的坐标为（m，-5）．
根据勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，PF²=PH²+HF²=m²+（2

5

+4）m+34+4

5

，NF²=5²+（

5

^）2=30．
分三种情况：
①∠PNF=90°时，PN²+NF²=PF²，解得m=10

5

-2，
∴Q点坐标为（5

5

-2，0）；
②当∠PFN=90°时，PF²+NF²=PN²，解得m=4

5

-2，
∴Q点坐标为（2

5

-2，0）；
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°．
综上所得，当Q点坐标为（5

5

-2，0）或（2

5

-2，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．