试题

题目：
已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=25有公共点，且仅当-
1
2
＜x＜
1
3
时抛物线在x轴上方，求a、b、c的取值范围．
答案
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=25有公共点，
∴依题意ax2+bx+c-25=0有解，
故△=b2-4a（c-25）≥0，
又不等式ax2+bx+c＞0的解是：-
1
2
＜x＜
1
3
，
∴a＜0且有x1+x2=-
b
a
=-
1
6
，x1x2=
c
a
=-
1
6
．
∴b=
1
6
a，c=-
1
6
a．
∴b=-c，代入△≥0得c2+24c（c-25）≥0．
∴c≥24．
故得a、b、c的取值范围为a≤-144，b≤-24，c≥24．
解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=25有公共点，
∴依题意ax2+bx+c-25=0有解，
故△=b2-4a（c-25）≥0，
又不等式ax2+bx+c＞0的解是：-
1
2
＜x＜
1
3
，
∴a＜0且有x1+x2=-
b
a
=-
1
6
，x1x2=
c
a
=-
1
6
．
∴b=
1
6
a，c=-
1
6
a．
∴b=-c，代入△≥0得c2+24c（c-25）≥0．
∴c≥24．
故得a、b、c的取值范围为a≤-144，b≤-24，c≥24．
考点梳理
二次函数综合题．
根据题意y=ax2+bx+c的图象与直线y=25有公共点，即ax2+bx+c-25=0有解，可得△=b2-4a（c-25）≥0，再根据不等式ax2+bx+c＞0的解是-
1
2
＜x＜
1
3
，结合一元二次不等式的解集的性质，可得b、c与a的关系，代入△=b2-4a（c-25）≥0中，可得答案．
本题主要考查了二次函数与不等式的知识点，二次方程ax2+bx+c=0，二次不等式ax2+bx+c＞0（或＜0）与二次函数y=ax2+bx+c的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题．
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