试题

如图，已知抛物线C：y=x²-2x+4和直线l：y=-2x+8．直线y=kx（k＞0）与抛物线C交于两个不同的点A、B，与直线l交于点P，
分别过A、B、P作x轴的垂线，设垂足分别为A₁，B₁，P₁．
（1）证明：

1

OA1

+

1

OB1

=

2

OP1

；
（2）是否存在实数k，使A₁A+B₁B=8？如果存在，求出此时k的值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
由

y=kx y=x2-2x+4

，
得x²-（2+k）x+4=0，
又由△=（2+k）²-16＞0，
∴k＞2或k＜-6，
x₁+x₂=2+k，x₁x₂=4，
OA₁=x₁，OB₁=x₂，
∴

1

OA1

+

1

OB1

=

1

x1

+ 

1

x2

=

x1x2

x1+x2

=

2+k

4

，
由

y=kx y=-2x+8

，得：
（k+2）x=8，
∴x=

8

k+2

，
∴OP1=

8

k+2

，

2

OP1

=

k+2

4

，结论成立；

（2）由AA₁=kx₁，BB₁=kx₂
∴AA₁+BB₁=k（x₁+x₂）=k（2+k）=8，
即k²+2k-8=0，
∴k₁=2，k₂=-4，
由△＞0有k＞2或k＜-6，
故不存在实数k满足条件．
解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
由

y=kx y=x2-2x+4

，
得x²-（2+k）x+4=0，
又由△=（2+k）²-16＞0，
∴k＞2或k＜-6，
x₁+x₂=2+k，x₁x₂=4，
OA₁=x₁，OB₁=x₂，
∴

1

OA1

+

1

OB1

=

1

x1

+ 

1

x2

=

x1x2

x1+x2

=

2+k

4

，
由

y=kx y=-2x+8

，得：
（k+2）x=8，
∴x=

8

k+2

，
∴OP1=

8

k+2

，

2

OP1

=

k+2

4

，结论成立；

（2）由AA₁=kx₁，BB₁=kx₂
∴AA₁+BB₁=k（x₁+x₂）=k（2+k）=8，
即k²+2k-8=0，
∴k₁=2，k₂=-4，
由△＞0有k＞2或k＜-6，
故不存在实数k满足条件．