试题

如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0）、点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式．

解：（1）如图，连结AC，CB．    
依相交弦定理的推论可得：OC²=OA·OB，
即OC²=1×4=4，
解得：OC=2或-2（负数舍去），
故C点的坐标为（0，2）；

（2）解法一：设抛物线解析式是y=ax²+bx+c（a≠0）．
把A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点坐标代入上式得：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解之得：

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
故抛物线解析式是y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．
解法二：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把点C（0，2）的坐标代入上式得：
a=-

1

2

．
故抛物线解析式是y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．

（3）解法一：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．
设点D的坐标是（x，2）代入抛物线解析式整理得：
x²-3x=0，
解之得x₁=0，x₂=3．
∴故点D的坐标为（3，2）
设过点B、点D的解析式为：y=kx+b，
把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得：
 

4k+b=0 3k+b=2

解之得：

k=-2 b=8

，
故直线BD的解析式为y=-2x+8，
解法二：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．
由（2）知抛物线的对称轴是x=

3

2

，
故过D的坐标为（3，2），
设过点B、点D的解析式为：y=kx+b，
把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得：

4k+b=0 3k+b=2

解之得：

k=-2 b=8

，
故直线BD的解析式为y=-2x+8，
解：（1）如图，连结AC，CB．    
依相交弦定理的推论可得：OC²=OA·OB，
即OC²=1×4=4，
解得：OC=2或-2（负数舍去），
故C点的坐标为（0，2）；

（2）解法一：设抛物线解析式是y=ax²+bx+c（a≠0）．
把A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点坐标代入上式得：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解之得：

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
故抛物线解析式是y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．
解法二：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把点C（0，2）的坐标代入上式得：
a=-

1

2

．
故抛物线解析式是y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．

（3）解法一：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．
设点D的坐标是（x，2）代入抛物线解析式整理得：
x²-3x=0，
解之得x₁=0，x₂=3．
∴故点D的坐标为（3，2）
设过点B、点D的解析式为：y=kx+b，
把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得：
 

4k+b=0 3k+b=2

解之得：

k=-2 b=8

，
故直线BD的解析式为y=-2x+8，
解法二：如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形．
由（2）知抛物线的对称轴是x=

3

2

，
故过D的坐标为（3，2），
设过点B、点D的解析式为：y=kx+b，
把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得：

4k+b=0 3k+b=2

解之得：

k=-2 b=8

，
故直线BD的解析式为y=-2x+8，