试题

（2000·天津）已知△ABC中，AC=BC=3

2

，∠C=90°，AB上有一动点P，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）设CF=x，用含x的代数式把Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积表示出来；
（2）是否存在这样的P点，使Rt△AEP、Rt△PFB及矩形ECFP的面积都小于4．

解：（1）△AEP的面积为

1

2

x2，
△PFB的面积为

1

2

(3

2

-x)2；
矩形ECFP的面积为x（3

2

-x）．

（2）设y₁=

1

2

x²，y₂=x（3

2

-x），y₃=

1

2

（3

2

-x）²
这三个二次函数的图象如图所示，令

1

2

x2=x(3

2

-x)，
得x₁=0，x₂=2

2

；
当x₁=0时，y₁=y₂=0；当x₂=2

2

时，y₁=y₂=4；
∴y₁和y₂的交点坐标为O（0，0），A（2

2

，4）．
由图知，在2

2

≤x＜3

2

中，y₁≥4，
由x（3

2

-x）=

1

2

（3

2

-x）²
得x₃=

2

，x₄=3

2

；
当x₃=

2

时，y₂=y₃=4，
当x₄=3

2

时，y₂=y₃=0，
∴y₂和y₃的交点坐标为B（

2

，4），C（3

2

，0），
由图知，在0＜x≤

2

时，y₃≥4，
在

2

≤x≤2

2

时，y₂≥4，
∴在0＜x＜3

2

中，y₁，y₂，y₃中最大面积都不小于4，
因此不存在这样的点P，使得三个图形的面积都小于4．
解：（1）△AEP的面积为

1

2

x2，
△PFB的面积为

1

2

(3

2

-x)2；
矩形ECFP的面积为x（3

2

-x）．

（2）设y₁=

1

2

x²，y₂=x（3

2

-x），y₃=

1

2

（3

2

-x）²
这三个二次函数的图象如图所示，令

1

2

x2=x(3

2

-x)，
得x₁=0，x₂=2

2

；
当x₁=0时，y₁=y₂=0；当x₂=2

2

时，y₁=y₂=4；
∴y₁和y₂的交点坐标为O（0，0），A（2

2

，4）．
由图知，在2

2

≤x＜3

2

中，y₁≥4，
由x（3

2

-x）=

1

2

（3

2

-x）²
得x₃=

2

，x₄=3

2

；
当x₃=

2

时，y₂=y₃=4，
当x₄=3

2

时，y₂=y₃=0，
∴y₂和y₃的交点坐标为B（

2

，4），C（3

2

，0），
由图知，在0＜x≤

2

时，y₃≥4，
在

2

≤x≤2

2

时，y₂≥4，
∴在0＜x＜3

2

中，y₁，y₂，y₃中最大面积都不小于4，
因此不存在这样的点P，使得三个图形的面积都小于4．