试题

（1998·宁波）如图，已知平行四边形DEFG与正方形ABCD有一个公共顶点D，G在CB或其延长线上，A在EF所在直线上，又二次函数y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）与x轴的两个交点P、Q的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，正方形ABCD的边长a等于点P，Q间的距离．
（1）求m的取值范围；
（2）求a和四边形DEFG的面积S；
（3）若DEFG的一组邻边长分别等于x₁，x₂，并设

CG

CB

=k，求sin∠E和k．
（（2），（3）的结果都用含m的代数式表示）

解：（1）∵二次函数y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）与x轴的两个交点，
P、Q的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁·x₂=-

1

m-1

＞0，
解得m＜1，
又∵m＞0，
∴0＜m＜1；

（2）令抛物线中y=0，可得0=（m-1）x²-（m-2）x-1，
解得x=1或x=

1

1-m

，
∵0＜m＜1，
∴

1

1-m

＞1，
∴a=

1

1-m

-1=

m

1-m

，
过A作AM⊥GD于M，则有△AMD∽△DCG，
∴

AM

CD

=

AD

DG

，
即AM·GD=a²，
∴S=AM·GD=a²=（

m

1-m

）²=

m2

m2-2m+1

；

（3）过D作DN⊥EF于N，则sin∠E=

DN

DE

，
∵S=EF·DN=a²，
∴DN=

a2

EF

，即sin∠E=

a2

DE·EF

=

( m 1-m )2

1 1-m

=

m2

1-m

，
∵

CG

BC

=k，
∴CG=BC·k=

mk

1-m

，
当DG=1时，在直角三角形CDG中，DG²=DC²+CG²，
即1=(

m

1-m

)2+(

km

1-m

)2，
解得k=

|1-2m|

m

，
当0＜m＜

1

2

时，k=

1-2m

m

，
当

1

2

＜m＜1时，k=

2m-1

m

，
当DG=

1

1-m

时，同理可求得k=

1-m2

m

，
∴k的值为

|1-2m|

m

或

1-m2

m

．
解：（1）∵二次函数y=（m-1）x²-（m-2）x-1（m＞0）与x轴的两个交点，
P、Q的横坐标分别为x₁，x₂，且x₁＞0，x₂＞0，
∴x₁·x₂=-

1

m-1

＞0，
解得m＜1，
又∵m＞0，
∴0＜m＜1；

（2）令抛物线中y=0，可得0=（m-1）x²-（m-2）x-1，
解得x=1或x=

1

1-m

，
∵0＜m＜1，
∴

1

1-m

＞1，
∴a=

1

1-m

-1=

m

1-m

，
过A作AM⊥GD于M，则有△AMD∽△DCG，
∴

AM

CD

=

AD

DG

，
即AM·GD=a²，
∴S=AM·GD=a²=（

m

1-m

）²=

m2

m2-2m+1

；

（3）过D作DN⊥EF于N，则sin∠E=

DN

DE

，
∵S=EF·DN=a²，
∴DN=

a2

EF

，即sin∠E=

a2

DE·EF

=

( m 1-m )2

1 1-m

=

m2

1-m

，
∵

CG

BC

=k，
∴CG=BC·k=

mk

1-m

，
当DG=1时，在直角三角形CDG中，DG²=DC²+CG²，
即1=(

m

1-m

)2+(

km

1-m

)2，
解得k=

|1-2m|

m

，
当0＜m＜

1

2

时，k=

1-2m

m

，
当

1

2

＜m＜1时，k=

2m-1

m

，
当DG=

1

1-m

时，同理可求得k=

1-m2

m

，
∴k的值为

|1-2m|

m

或

1-m2

m

．