试题

（2013·闸北区二模）已知：如图，抛物线y=x²-2x+3与y轴交于点A，顶点是点P，过点P作PB⊥x轴于点B．平移该抛物线，使其经过A、B两点．
（1）求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标；
（2）设点D是直线OP上的一个点，如果∠CDP=∠AOP，求出点D的坐标．

解：（1）令x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴顶点P（1，2）、B（1，0），
设平移后抛物线的解析式为y=x²+bx+c，
将点A（0，3）、B（1，0）的坐标代入得，

c=3 1+b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴平移后抛物线的解析式为抛物线y=x²-4x+3，
令y=0，则x²-4x+3=0，
解得，x₁=1，x₂=3，
所以，点C（3，0）；

（2）如图，直线OP过P（1，2），
所以，直线OP解析式为y=2x，
①点D在第一象限时，∵∠CD₁P=∠AOP，
∴CD₁∥y轴，
∴CD₁⊥x轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，都是3，
x=3时，y=2×3=6，
∴点D₁（3，6），
②点D在第三象限时，
∵∠CD₁P=∠AOP，∠CD₂P=∠AOP，
∴∠CD₁P=∠CD₂P，
∴CD₁=CD₂，且CD₂=CD₁=6，
设D₂（x，2x），则

(x-3)2+(2x)2

=6，
整理得，5x²-6x-27=0，
解得x₁=3（为点D₁，舍去），x₂=-

9

5

，
所以，点D₁（3，6）、D₂（-

9

5

，-

18

5

）．
解：（1）令x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∵y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴顶点P（1，2）、B（1，0），
设平移后抛物线的解析式为y=x²+bx+c，
将点A（0，3）、B（1，0）的坐标代入得，

c=3 1+b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴平移后抛物线的解析式为抛物线y=x²-4x+3，
令y=0，则x²-4x+3=0，
解得，x₁=1，x₂=3，
所以，点C（3，0）；

（2）如图，直线OP过P（1，2），
所以，直线OP解析式为y=2x，
①点D在第一象限时，∵∠CD₁P=∠AOP，
∴CD₁∥y轴，
∴CD₁⊥x轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，都是3，
x=3时，y=2×3=6，
∴点D₁（3，6），
②点D在第三象限时，
∵∠CD₁P=∠AOP，∠CD₂P=∠AOP，
∴∠CD₁P=∠CD₂P，
∴CD₁=CD₂，且CD₂=CD₁=6，
设D₂（x，2x），则

(x-3)2+(2x)2

=6，
整理得，5x²-6x-27=0，
解得x₁=3（为点D₁，舍去），x₂=-

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，
所以，点D₁（3，6）、D₂（-

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，-

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）．