试题

抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）过点A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），顶点为M点．
（1）求该抛物线的解析式和顶点M．
（2）试判断抛物线上是否存在一点P，使∠POM=90？若不存在，说明理由；若存在，求出P点的坐标．

解：（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），代入y=ax²+bx+c 中，
得

a+b+c=-3 9a+3b+c=-3 a-b+c=5

，解得

a=1 b=-4 c=0

，
∴y=x²-4x，即y=（x-2）²-4，∴顶点M（2，-4）．（5分）

（2）设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为（m，m²-4m），
过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90°，∠POE+∠EPO=90°，
∴∠EPO=∠FOM，
∵∠OEP=∠MFO=90°，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．即（m²-4m）：2=m：4．
解得m₁=0（舍去），m₂=

9

2

．
故抛物线上存在一点P，使∠POM=90°，P点的坐标为（

9

2

，

9

4

）．（8分）
解：（1）将A（1，-3），B（3，-3），C（-1，5），代入y=ax²+bx+c 中，
得

a+b+c=-3 9a+3b+c=-3 a-b+c=5

，解得

a=1 b=-4 c=0

，
∴y=x²-4x，即y=（x-2）²-4，∴顶点M（2，-4）．（5分）

（2）设抛物线上存在一点P，使OP⊥OM，其坐标为（m，m²-4m），
过P作PE⊥y轴，垂足为E；过M点作MF⊥y轴，垂足为F．
则∠POE+∠MOF=90°，∠POE+∠EPO=90°，
∴∠EPO=∠FOM，
∵∠OEP=∠MFO=90°，
∴Rt△OEP∽Rt△MFO．
∴OE：MF=EP：OF．即（m²-4m）：2=m：4．
解得m₁=0（舍去），m₂=

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2

．
故抛物线上存在一点P，使∠POM=90°，P点的坐标为（

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2

，

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）．（8分）