试题

如图，抛物线经过A（4，0）、B（1，0）、C（0，-2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是第一象限内抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线解析式为：
y=a（x-4）（x-1），
把c（0，-2）带入得a=-

1

2

，
∴抛物线解析式为：y=-

1

2

（x-4）（x-1）=-

1

2

x²+

5

2

x-2；

（2）如图，设P点横坐标为m，则P点纵坐标为：-

1

2

m2+

5

2

m-2，
因为P是第一象限内抛物线上一动点，所以1＜m＜4，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
①当

AM

PM

=

AO

CO

=

2

1

时，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1），
②当

AM

PM

=

CO

AO

=

1

2

时，△APM∽△CAO，
即4-m=

1

2

（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₃=4，m₄=5（均不合题意，舍去），
∴1＜m＜4时，P点坐标为（2，1）．
解：（1）设抛物线解析式为：
y=a（x-4）（x-1），
把c（0，-2）带入得a=-

1

2

，
∴抛物线解析式为：y=-

1

2

（x-4）（x-1）=-

1

2

x²+

5

2

x-2；

（2）如图，设P点横坐标为m，则P点纵坐标为：-

1

2

m2+

5

2

m-2，
因为P是第一象限内抛物线上一动点，所以1＜m＜4，
AM=4-m，PM=-

1

2

m²+

5

2

m-2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
①当

AM

PM

=

AO

CO

=

2

1

时，
△APM∽△ACO，
即4-m=2（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1），
②当

AM

PM

=

CO

AO

=

1

2

时，△APM∽△CAO，
即4-m=

1

2

（-

1

2

m²+

5

2

m-2），
解得m₃=4，m₄=5（均不合题意，舍去），
∴1＜m＜4时，P点坐标为（2，1）．