试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．

解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，
得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-1

，
解之得

a= 1 3 b=- 2 3 c=-1

，
∴所求抛物线的表达式为y=

1

3

x²-

2

3

x-1；

（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P₁，P₂．
而当x=4时，y=

5

3

；
当x=-4时，y=7，
此时P₁（4，

5

3

）、P₂（-4，7）．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P₃．
而且当x=2时y=-1，此时P₃（2，-1），
综上，满足条件的P为P₁（4，

5

3

）、P₂（-4，7）、P₃（2，-1）．
解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax²+bx+c根据题意，
得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-1

，
解之得

a= 1 3 b=- 2 3 c=-1

，
∴所求抛物线的表达式为y=

1

3

x²-

2

3

x-1；

（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．
又知点Q在y轴上，
∴点P的横坐标为4或-4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P₁，P₂．
而当x=4时，y=

5

3

；
当x=-4时，y=7，
此时P₁（4，

5

3

）、P₂（-4，7）．
②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，
又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，
∴点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P₃．
而且当x=2时y=-1，此时P₃（2，-1），
综上，满足条件的P为P₁（4，

5

3

）、P₂（-4，7）、P₃（2，-1）．