试题

已知抛物线C：y=x²-（m+1）x+1与x轴只有一个交点．
（1）求m的值；
（2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后，再作关于y轴的轴对称变换得到抛物线C₁，并且C₁过点（n，3），求C₁的函数关系式；
（3）m＜0时，抛物线C的顶点为M，且过点P（-2，y₀），连接OP，问在抛物线上是否存在一点Q，使以点Q和O、M、P中任意两点构成的三角形与△OPM的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线C：y=x²-（m+1）x+1与x轴只有一个交点，
∴△=[-（m+1）]²-4=0，
解得m=1或m=-3；

（2）当m＞0时，m=1，抛物线C的解析式为y=x²-2x+1．
向下平移n（n＞0）个单位后得到y=x²-2x+1-n，
由对称性可知抛物线C₁：y=x²+2x+1-n．
∵C₁过点（n，3），
∴n²+2n+1-n=3，即n²+n-2=0，
解得n₁=1，n₂=-2（由题意n＞0，舍去），
∴n=1，
∴抛物线C₁：y=x²+2x；

（3）存在．
当m＜0时，m=-3，抛物线C：y=x²+2x+1=（x+1）²，顶点M（-1，0）．
∵抛物线C过点P（-2，y₀），
∴y₀=（-2+1）²=1，
∴P（-2，1）．  
①当PQ∥OM时，S_△OMQ=S_△OPM，
由对称性可知点Q₁的坐标是（0，1）；
②当OQ∥PM时，S_△PQM=S_△OPM，
直线PM的解析式为y=-x-1，所以直线OQ的解析式为y=-x．
解方程组

y=x2+2x+1 y=-x

，
求出点Q的坐标分别是Q₂（

-3+ 5

2

，

3- 5

2

），Q₃（

-3- 5

2

，

3+ 5

2

）；
③当MQ∥OP时，S_△OPQ=S_△OPM，
直线OP的解析式为y=-

1

2

x，所以直线MQ的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

．
解方程组

y=x2+2x+1 y=- 1 2 x- 1 2

，求出点Q的坐标分别是（-

3

2

，

1

4

）．
综上所述，存在符合条件的点共有4个，分别为Q₁（0，1）、Q₂（

-3+ 5

2

，

3- 5

2

）、Q₃（

-3- 5

2

，

3+ 5

2

）、Q₄（-

3

2

，

1

4

）．
解：（1）∵抛物线C：y=x²-（m+1）x+1与x轴只有一个交点，
∴△=[-（m+1）]²-4=0，
解得m=1或m=-3；

（2）当m＞0时，m=1，抛物线C的解析式为y=x²-2x+1．
向下平移n（n＞0）个单位后得到y=x²-2x+1-n，
由对称性可知抛物线C₁：y=x²+2x+1-n．
∵C₁过点（n，3），
∴n²+2n+1-n=3，即n²+n-2=0，
解得n₁=1，n₂=-2（由题意n＞0，舍去），
∴n=1，
∴抛物线C₁：y=x²+2x；

（3）存在．
当m＜0时，m=-3，抛物线C：y=x²+2x+1=（x+1）²，顶点M（-1，0）．
∵抛物线C过点P（-2，y₀），
∴y₀=（-2+1）²=1，
∴P（-2，1）．  
①当PQ∥OM时，S_△OMQ=S_△OPM，
由对称性可知点Q₁的坐标是（0，1）；
②当OQ∥PM时，S_△PQM=S_△OPM，
直线PM的解析式为y=-x-1，所以直线OQ的解析式为y=-x．
解方程组

y=x2+2x+1 y=-x

，
求出点Q的坐标分别是Q₂（

-3+ 5

2

，

3- 5

2

），Q₃（

-3- 5

2

，

3+ 5

2

）；
③当MQ∥OP时，S_△OPQ=S_△OPM，
直线OP的解析式为y=-

1

2

x，所以直线MQ的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

．
解方程组

y=x2+2x+1 y=- 1 2 x- 1 2

，求出点Q的坐标分别是（-

3

2

，

1

4

）．
综上所述，存在符合条件的点共有4个，分别为Q₁（0，1）、Q₂（

-3+ 5

2

，

3- 5

2

）、Q₃（

-3- 5

2

，

3+ 5

2

）、Q₄（-

3

2

，

1

4

）．