试题

已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A（0，1），B（0，3），第三个顶点C在x轴的正半轴上，关于y轴对称的抛物线y=ax²+bx+c经过点A，D（3，-2）．
（1）求直线BC的解析式；
（2）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式并判断点C是否在抛物线上；
（3）设点P在（2）中的抛物线上，且点P关于直线AC的对称点在x轴上，求点P的坐标．

解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，
∴AC=AB=2，
∴OC=

AC2-OA2

=

3

．
∴C（

3

，0），
设直线BC的解析式为y=kx+3，
∴

3

k+3=0，
∴k=-

3

．
∴直线BC的解析式为y=-

3

x+3；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，
∴b=0．
又∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，1），D（3，-2），两点．
∴

c=1 9a+c=-2

解得

a=- 1 3 c=1

∴抛物线的解析式是y=-

1

3

x²+1．
∵C（

3

，0），
∴当x=

3

时，y=0，
∴点C在抛物线上；

（3）在Rt△AOC中，
∵OA=1，AC=2，
∴∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，
∵OB=3，OC=

3

，
∴∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分线．
∴直线BC与x轴关于直线AC对称．
点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-

1

3

x²+1的交点．
Q点P在直线BC：y=-

3

x+3上，
故设点P的坐标是（x，-

3

x+3）．
又∵点P（x，-

3

x+3）在抛物线y=-

1

3

x²+1上，
∴-

3

+3=-

1

3

x²+1．解得x₁=

3

，x₂=2

3

．
故所求的点P的坐标是P₁（

3

，0），P₂（

3

，-3）．
解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且点C在x轴的正半轴上，
∴AC=AB=2，
∴OC=

AC2-OA2

=

3

．
∴C（

3

，0），
设直线BC的解析式为y=kx+3，
∴

3

k+3=0，
∴k=-

3

．
∴直线BC的解析式为y=-

3

x+3；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，
∴b=0．
又∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，1），D（3，-2），两点．
∴

c=1 9a+c=-2

解得

a=- 1 3 c=1

∴抛物线的解析式是y=-

1

3

x²+1．
∵C（

3

，0），
∴当x=

3

时，y=0，
∴点C在抛物线上；

（3）在Rt△AOC中，
∵OA=1，AC=2，
∴∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，
∵OB=3，OC=

3

，
∴∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分线．
∴直线BC与x轴关于直线AC对称．
点P关于直线AC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BC与抛物线y=-

1

3

x²+1的交点．
Q点P在直线BC：y=-

3

x+3上，
故设点P的坐标是（x，-

3

x+3）．
又∵点P（x，-

3

x+3）在抛物线y=-

1

3

x²+1上，
∴-

3

+3=-

1

3

x²+1．解得x₁=

3

，x₂=2

3

．
故所求的点P的坐标是P₁（

3

，0），P₂（

3

，-3）．