试题

已知抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），顶点M的纵坐标为-3，若x₁，x₂是关于方程x²+（m+1）x+m²-12=0（其中m＜0）的两个根，且x₁²+x₂²=10．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACBM的面积的2倍？若存在，求出所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵若x₁，x₂是方程x²+（m+1）x+m²-12=0的两个实数根，
由题意得：x₁+x₂=-

b

a

=-（m+1），x₁x₂=

c

a

=m²-12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-2（m²-12）=10，
化简，得-m²+2m+15=0，
解得m=5或-3，
∵m＜0，
∴m=-3，．
∴原方程可写成：x²-2x-3=0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，-3），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
则有：-3=a（1+1）（1-3），
解得：a=

3

4

；
∴y=

3

4

（x-3）（x+1）=

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

；

（3）S_{四边形ACMB}=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△NBM
=

1

2

OA·OC+

1

2

（OC+MN）·ON+

1

2

NB·MN
=

1

2

×1×

9

4

+

1

2

×（

9

4

+3）×1+

1

2

×2×3
=

27

4

．
假设存在P（x₀，y₀）使得S_△PAB=2S_{四边形ACMB}=

27

2

，
即：

1

2

AB|y₀|=

27

2

，

1

2

×4×|y₀|=

27

2

，
∴y₀=±

27

4

；
当y₀=

27

4

时，

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=

27

4

，解得x₁=1-

13

，x₂=1+

13

；
当y₀=-

27

4

时，

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=-

27

4

，此方程无实数根．
∴存在符合条件的P点，且坐标为（1-

13

，

27

4

），（1+

13

，

27

4

）．
解：（1）∵若x₁，x₂是方程x²+（m+1）x+m²-12=0的两个实数根，
由题意得：x₁+x₂=-

b

a

=-（m+1），x₁x₂=

c

a

=m²-12，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-2（m²-12）=10，
化简，得-m²+2m+15=0，
解得m=5或-3，
∵m＜0，
∴m=-3，．
∴原方程可写成：x²-2x-3=0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁=-1，x₂=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
因此抛物线的顶点坐标为（1，-3），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
则有：-3=a（1+1）（1-3），
解得：a=

3

4

；
∴y=

3

4

（x-3）（x+1）=

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

；

（3）S_{四边形ACMB}=S_△AOC+S_梯形OCMN+S_△NBM
=

1

2

OA·OC+

1

2

（OC+MN）·ON+

1

2

NB·MN
=

1

2

×1×

9

4

+

1

2

×（

9

4

+3）×1+

1

2

×2×3
=

27

4

．
假设存在P（x₀，y₀）使得S_△PAB=2S_{四边形ACMB}=

27

2

，
即：

1

2

AB|y₀|=

27

2

，

1

2

×4×|y₀|=

27

2

，
∴y₀=±

27

4

；
当y₀=

27

4

时，

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=

27

4

，解得x₁=1-

13

，x₂=1+

13

；
当y₀=-

27

4

时，

3

4

x²-

3

2

x-

9

4

=-

27

4

，此方程无实数根．
∴存在符合条件的P点，且坐标为（1-

13

，

27

4

），（1+

13

，

27

4

）．