试题

题目：
青果学院如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0）．另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一个动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P在x轴上一点，以C、B、P为顶点的三角形与△CMN相似，求点P的坐标．
答案
解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
5k+b=0
b=5
，
解得
k=-1
b=5
，
所以，直线BC的解析式为y=-x+5，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（5，0），C（0，5），
∴
25+5b+c=0
c=5
，
解得
b=-6
c=5
，
∴抛物线解析式为y=x2-6x+5；

（2）设M（m，0），则MN=（-m+5）-（m2-6m+5），
=-m2+5m，
=-（m-
5
2
）2+
25
4
，青果学院
∴当m=
5
2
时，MN的最大值=
25
4
；

（3）∵∠CNM+∠CMN=∠CBA=45°，
∴∠CNM=∠CBP，
由勾股定理得，BC=
52+52
=5
2
，
由（2）得CN=
1
2
BC=
5
2
2
，
①BP和CN是对应边时，△BPC∽△NCM，
∴
BP
CN
=
BC
MN
，
即
BP
5
2
2
=
5
2
25
4
，
解得BP=4，
∴OP=OB+BP=5+4=9，
点P1（9，0），
②BP和MN是对应边时，△BPC∽△NMC，
∴
BP
MN
=
BC
CN
，
即
BP
25
4
=
5
2
5
2
2
，
解得BP=
25
2
，
∴OP=OB+BP=5+
25
2
=
35
2
，
点P2（
35
2
，0），
综上所述，P1（9，0），P2（
35
2
，0）．
解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则
5k+b=0
b=5
，
解得
k=-1
b=5
，
所以，直线BC的解析式为y=-x+5，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（5，0），C（0，5），
∴
25+5b+c=0
c=5
，
解得
b=-6
c=5
，
∴抛物线解析式为y=x2-6x+5；

（2）设M（m，0），则MN=（-m+5）-（m2-6m+5），
=-m2+5m，
=-（m-
5
2
）2+
25
4
，青果学院
∴当m=
5
2
时，MN的最大值=
25
4
；

（3）∵∠CNM+∠CMN=∠CBA=45°，
∴∠CNM=∠CBP，
由勾股定理得，BC=
52+52
=5
2
，
由（2）得CN=
1
2
BC=
5
2
2
，
①BP和CN是对应边时，△BPC∽△NCM，
∴
BP
CN
=
BC
MN
，
即
BP
5
2
2
=
5
2
25
4
，
解得BP=4，
∴OP=OB+BP=5+4=9，
点P1（9，0），
②BP和MN是对应边时，△BPC∽△NMC，
∴
BP
MN
=
BC
CN
，
即
BP
25
4
=
5
2
5
2
2
，
解得BP=
25
2
，
∴OP=OB+BP=5+
25
2
=
35
2
，
点P2（
35
2
，0），
综上所述，P1（9，0），P2（
35
2
，0）．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；把点B、C的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；
（2）设点M（m，0），用直线BC的解析式和抛物线的解析式表示出MN的长，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CNM+∠CMN=∠CBA=45°，然后判断出∠CNM=∠CBP，由（2）求出求出CN的长，再分①BP和CN是对应边，②BP和MN是对应边，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP，再求出OP，然后写出点P的坐标即可．
本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形对应边成比例的性质，难点在于（3）要分情况讨论．
压轴题．
找相似题