试题

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²-（m-1）x+m²-6交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，3），顶点C位于第二象限，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是y轴正半轴上一点，且在B点上方，若∠DCB=∠CAB，请你猜想并证明CD与AC的位置关系；
（3）设与△AOB重合的△EFG从△AOB的位置出发，沿x轴负方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

解：（1）∵抛物线y=-x²-（m-1）x+m²-6与y轴交于点B（0，3），
∴m²-6=3．
∴m=±3．
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）猜想：CD⊥AC，如图（1）：

证明如下：
∵A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），
∴AB=3

2

，AC=2

5

，BC=

2

．
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，
又∵∠CAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ACB=90°，
∴CD⊥AC．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（-3，0），C（-1，4）代入可得：

-3k+b=0 -k+b=4

，
解得：

k=2 b=6

，
即直线AC的解析式为y=2x+6．
过B作BK∥x轴，交AC于点K，
则点K的坐标为（-

3

2

，3），
①当0＜t＜

3

2

时，如图（2），EF交AB于点Q，GF交AC于点N，过N做MP∥FE交x轴于P点，交BF的延长线点M，

由△AGN∽△KFN，得

AG

KF

=

PN

MN

，
即

t

3 2 -t

=

PN

3-PN

，
解得PN=2t，
则S_阴影=S_△FGE-S_△QAE-S_△AGN=

1

2

×3×3-

1

2

(3-t)2-

1

2

t×2t=-

3

2

t²+3t．

②当

3

2

≤t≤3时，如图（3），EF交AB于点N，交AC于点M，BF交AC于点P，
．
由△AME∽△PMF，
得

AE

PF

=

ME

MF

．
即

3-t

t- 3 2

=

ME

3-ME

，
解得ME=2（3-t），
∴S 阴影=S△MAE-S△NAE=

1

2

×（3-t）×2(3-t)-

1

2

(3-t)2=

1

2

t2-3t+

9

2

．
综上所述：S=

- 3 2 t2+3t(0＜t＜ 3 2 ) 1 2 t2-3t+ 9 2 ( 3 2 ≤t≤3)

．
解：（1）∵抛物线y=-x²-（m-1）x+m²-6与y轴交于点B（0，3），
∴m²-6=3．
∴m=±3．
∵抛物线的顶点在第二象限，
∴m=3．
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（2）猜想：CD⊥AC，如图（1）：

证明如下：
∵A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），
∴AB=3

2

，AC=2

5

，BC=

2

．
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴∠CAB+∠ACB=90°，
又∵∠CAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠ACB=90°，
∴CD⊥AC．
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
将A（-3，0），C（-1，4）代入可得：

-3k+b=0 -k+b=4

，
解得：

k=2 b=6

，
即直线AC的解析式为y=2x+6．
过B作BK∥x轴，交AC于点K，
则点K的坐标为（-

3

2

，3），
①当0＜t＜

3

2

时，如图（2），EF交AB于点Q，GF交AC于点N，过N做MP∥FE交x轴于P点，交BF的延长线点M，

由△AGN∽△KFN，得

AG

KF

=

PN

MN

，
即

t

3 2 -t

=

PN

3-PN

，
解得PN=2t，
则S_阴影=S_△FGE-S_△QAE-S_△AGN=

1

2

×3×3-

1

2

(3-t)2-

1

2

t×2t=-

3

2

t²+3t．

②当

3

2

≤t≤3时，如图（3），EF交AB于点N，交AC于点M，BF交AC于点P，
．
由△AME∽△PMF，
得

AE

PF

=

ME

MF

．
即

3-t

t- 3 2

=

ME

3-ME

，
解得ME=2（3-t），
∴S 阴影=S△MAE-S△NAE=

1

2

×（3-t）×2(3-t)-

1

2

(3-t)2=

1

2

t2-3t+

9

2

．
综上所述：S=

- 3 2 t2+3t(0＜t＜ 3 2 ) 1 2 t2-3t+ 9 2 ( 3 2 ≤t≤3)

．