试题

如图①，已知抛物线y=ax²+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax²+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过坐标原点可得，
c=0，
由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0），
将他们的坐标值分别代入解析式可得，

2=a+b 0=4a+2b

，
解得，

a=-2 b=4

，
故该抛物线的解析式为：y=-2x²+4x；

（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为：
y=-2（x-m）²+4（x-m），
原抛物线与平移后的解析式交于P点，
则有

y=-2x2+4x y=-2(x-m)2+4(x-m)

，
解得，

x= m 2 + 1 y=- m2 2 +2

，
即P点坐标为：（

m

2

+ 1，-

m2

2

+2），
那么△CDP的高为：-

m2

2

+2，而CD=2，
则S=

1

2

×2×（-

m2

2

+2），
化简得，S=-

m2

2

+ 2；

（3）如图，
四边形BAA′B′为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2，
B点的纵坐标为：

22-12

=

3

，
那么tan∠BA′A=

3

3

，
故∠BA′A=∠A′BA=30°，
A′E=AE=

1

cos30°

=

2 3

3

，
则

AE

AB

=

3

3

正好是tan30°的值，
故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF，
则∠A′EF=90°，
A′F=

A′E

cos30°

=

4

3

，
则AF=2-

4

3

=

2

3

，F横坐标为：2+

2

3

=

8

3

，
故在x轴上存在一点F，F的坐标为：（

8

3

，0）．
解：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过坐标原点可得，
c=0，
由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0），
将他们的坐标值分别代入解析式可得，

2=a+b 0=4a+2b

，
解得，

a=-2 b=4

，
故该抛物线的解析式为：y=-2x²+4x；

（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为：
y=-2（x-m）²+4（x-m），
原抛物线与平移后的解析式交于P点，
则有

y=-2x2+4x y=-2(x-m)2+4(x-m)

，
解得，

x= m 2 + 1 y=- m2 2 +2

，
即P点坐标为：（

m

2

+ 1，-

m2

2

+2），
那么△CDP的高为：-

m2

2

+2，而CD=2，
则S=

1

2

×2×（-

m2

2

+2），
化简得，S=-

m2

2

+ 2；

（3）如图，
四边形BAA′B′为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2，
B点的纵坐标为：

22-12

=

3

，
那么tan∠BA′A=

3

3

，
故∠BA′A=∠A′BA=30°，
A′E=AE=

1

cos30°

=

2 3

3

，
则

AE

AB

=

3

3

正好是tan30°的值，
故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF，
则∠A′EF=90°，
A′F=

A′E

cos30°

=

4

3

，
则AF=2-

4

3

=

2

3

，F横坐标为：2+

2

3

=

8

3

，
故在x轴上存在一点F，F的坐标为：（

8

3

，0）．