试题

已知关于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0．
（1）当k取何值时，方程有两个实数根；
（2）若二次函数y=kx²-（4k+1）x+4的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值并用配方法求出抛物线的顶点坐标；
（3）若（2）中的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．将抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），写出n的取值范围．

解：（1）△=b²-4ac=[-（4k+1）]²-4×4k≥0，
整理得，（4k-1）²≥0，
∴对于k≠0的任何实数，关于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0总有两个实数根；

（2）令y=0，则kx²-（4k+1）x+4=0，
即（kx-1）（x-4）=0，
解得x₁=

1

k

，x₂=4，
∵函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，k为正整数，
∴k=1，
∴二次函数解析式为y=x²-5x+4，
∵y=x²-5x+4，
=x²-5x+

25

4

-

25

4

+4，
=（x-

5

2

）²-

9

4

，
∴抛物线的顶点坐标为（

5

2

，-

9

4

）；

（3）由（2）得，点A（1，0），B（4，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
∵二次函数的对称轴为直线x=

5

2

，
∴当x=

5

2

时，y=-

5

2

+4=

3

2

，
∵

3

2

-（-

9

4

）=

3

2

+

9

4

=

15

4

，
∴当抛物线的顶点落在△ABC的内部时，

9

4

＜n＜

15

4

．
解：（1）△=b²-4ac=[-（4k+1）]²-4×4k≥0，
整理得，（4k-1）²≥0，
∴对于k≠0的任何实数，关于x的方程kx²-（4k+1）x+4=0总有两个实数根；

（2）令y=0，则kx²-（4k+1）x+4=0，
即（kx-1）（x-4）=0，
解得x₁=

1

k

，x₂=4，
∵函数图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，k为正整数，
∴k=1，
∴二次函数解析式为y=x²-5x+4，
∵y=x²-5x+4，
=x²-5x+

25

4

-

25

4

+4，
=（x-

5

2

）²-

9

4

，
∴抛物线的顶点坐标为（

5

2

，-

9

4

）；

（3）由（2）得，点A（1，0），B（4，0），
令x=0，则y=4，
∴点C的坐标为（0，4），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

，
∴直线BC的解析式为y=-x+4，
∵二次函数的对称轴为直线x=

5

2

，
∴当x=

5

2

时，y=-

5

2

+4=

3

2

，
∵

3

2

-（-

9

4

）=

3

2

+

9

4

=

15

4

，
∴当抛物线的顶点落在△ABC的内部时，

9

4

＜n＜

15

4

．