试题

如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△OBC的两条直角边分别落在x轴、y轴上，且OB=1，OC=3，将△OBC绕原点O顺时针旋转90°得到△OAE，将△OBC沿y轴翻折得到△ODC，AE与CD交于点F．
（1）若抛物线过点A、B、C，求此抛物线的解析式；
（2）求△OAE与△ODC重叠的部分四边形ODFE的面积；
（3）点M是第三象限内抛物线上的一动点，点M在何处时△AMC的面积最大？最大面积是多少？求出此时点M的坐标．

解：（1）∵OB=1，OC=3，
∴C（0，-3），B（1，0）
∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，
∴A（-3，0），
所以抛物线过点A（-3，0），C（0，-3），B（1，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可得

a+b+c=0 c=-3 9a-3b+c=0

，
解得

a=1 b=2 c=-3

，
故过点A，B，C的抛物线的解析式为y=x²+2x-3．

（2）∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，△OBC沿y轴翻折得到△COD，
∴E（0，-1），D（-1，0），
可求出直线AE的解析式为y=-

1

3

x-1，
直线DC的解析式为y=-3x-3，
联立直线AE与直线DC的解析式：

y=- 1 3 x-1 y=-3x-3

解得：

x=- 3 4 y=- 3 4

，
∵点F为直线AE与直线DC交点，
∴点F坐标为（-

3

4

，-

3

4

），
∴

1

2

AD×|F_纵|=

3

4

，
S_{四边形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=

3

2

-

3

4

=

3

4

．

（3）连接OM，AM，MC，设M点的坐标为（m，n），

∵点M在抛物线上，
∴n=m²+2m-3，
∴S_△AMC=S_△AMO+S_△OMC-S_△AOC=

1

2

OA·|m|+

1

2

OC·|n|-

1

2

OA·OC
=-

3

2

（m+n）-

9

2

=-

3

2

（m+n+3）
=-

3

2

（m²+3m）
=-

3

2

（m+

3

2

）²+

27

8

，
∵0＜m＜3，
∴当m=-

3

2

时，n=-

15

4

，△AMC的面积有最大值，
即当点M的坐标为（-

3

2

，-

15

4

）时，△AMC的面积有最大值．
解：（1）∵OB=1，OC=3，
∴C（0，-3），B（1，0）
∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，
∴A（-3，0），
所以抛物线过点A（-3，0），C（0，-3），B（1，0），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可得

a+b+c=0 c=-3 9a-3b+c=0

，
解得

a=1 b=2 c=-3

，
故过点A，B，C的抛物线的解析式为y=x²+2x-3．

（2）∵△OBC绕原点顺时针旋转90°得到△OAE，△OBC沿y轴翻折得到△COD，
∴E（0，-1），D（-1，0），
可求出直线AE的解析式为y=-

1

3

x-1，
直线DC的解析式为y=-3x-3，
联立直线AE与直线DC的解析式：

y=- 1 3 x-1 y=-3x-3

解得：

x=- 3 4 y=- 3 4

，
∵点F为直线AE与直线DC交点，
∴点F坐标为（-

3

4

，-

3

4

），
∴

1

2

AD×|F_纵|=

3

4

，
S_{四边形ODFE}=S_△AOE-S_△ADF=

3

2

-

3

4

=

3

4

．

（3）连接OM，AM，MC，设M点的坐标为（m，n），

∵点M在抛物线上，
∴n=m²+2m-3，
∴S_△AMC=S_△AMO+S_△OMC-S_△AOC=

1

2

OA·|m|+

1

2

OC·|n|-

1

2

OA·OC
=-

3

2

（m+n）-

9

2

=-

3

2

（m+n+3）
=-

3

2

（m²+3m）
=-

3

2

（m+

3

2

）²+

27

8

，
∵0＜m＜3，
∴当m=-

3

2

时，n=-

15

4

，△AMC的面积有最大值，
即当点M的坐标为（-

3

2

，-

15

4

）时，△AMC的面积有最大值．