试题

如图，抛物线y=-x²+4x+5交X轴于A、以A左B右）两点，交y轴于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设P点的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，连接AP，抛物线上是否存在这样的点P，使得线段PA被BC平分？如果不存在，请说明理由；如果存在，求点P的坐标．

解：（1）当y=0时，-x²+4x+5=0，
即x²-4x-5=0，
解得x₁=5，x₂=-1，
∵A左B右，
∴A（-1，0），B（5，O），
当x=0时，y=5，
∴C（0，5），
设直线BC解析式为y=kx+b，
则

5k+b=0 0×k+b=5

，
解得

k=-1 b=5

，
∴直线BC解析式为，y=-x+5；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于F，
∵P点的横坐标为m，
∴P（m，-m²+4m+5）F（m，-m+5），
∴PF=（-m²+4m+5）-（-m+5）=-m²+5m，
∵S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF，
∴S=

1

2

（-m²+5m）×m+

1

2

（-m²+5m）×（5-m）=-

5

2

m²+

25

2

m，
∴S=-

5

2

m²+

25

2

m；

（3）存在点P．
如图，设AP、BC的交点为E，过点E作EG⊥x轴于G，
∴EG∥PH，
∴△AGE∽△AHP，
∴

AE

AP

=

AG

AH

=

EG

PH

=

1

2

，
∵P（m，-m²+4m+5），
∴EG=

1

2

PH=

-m2+4m+5

2

，
AH=m-（-1）=m+1，
GH=

1

2

AH=

m+1

2

，
HB=5-m，GB=GH+HB=

m+1

2

+5-m，
∵OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴EG=BG，
∴

-m2+4m+5

2

=

m+1

2

+5-m，
整理得，m²-5m+6=0，
解得m₁=2，m₂=3，
当m=2时，-m²+4m+5=-2²+4×2+5=9，
此时，P（2，9），
当m=3时，-m²+4m+5=-3²+4×3+5=8，
此时P（3，8），
∴存在这样的点P（2，9）或P（3，8），使得线段PA被BC平分．
解：（1）当y=0时，-x²+4x+5=0，
即x²-4x-5=0，
解得x₁=5，x₂=-1，
∵A左B右，
∴A（-1，0），B（5，O），
当x=0时，y=5，
∴C（0，5），
设直线BC解析式为y=kx+b，
则

5k+b=0 0×k+b=5

，
解得

k=-1 b=5

，
∴直线BC解析式为，y=-x+5；

（2）过点P作PH⊥x轴于H，交BC于F，
∵P点的横坐标为m，
∴P（m，-m²+4m+5）F（m，-m+5），
∴PF=（-m²+4m+5）-（-m+5）=-m²+5m，
∵S_△PBC=S_△PCF+S_△PBF，
∴S=

1

2

（-m²+5m）×m+

1

2

（-m²+5m）×（5-m）=-

5

2

m²+

25

2

m，
∴S=-

5

2

m²+

25

2

m；

（3）存在点P．
如图，设AP、BC的交点为E，过点E作EG⊥x轴于G，
∴EG∥PH，
∴△AGE∽△AHP，
∴

AE

AP

=

AG

AH

=

EG

PH

=

1

2

，
∵P（m，-m²+4m+5），
∴EG=

1

2

PH=

-m2+4m+5

2

，
AH=m-（-1）=m+1，
GH=

1

2

AH=

m+1

2

，
HB=5-m，GB=GH+HB=

m+1

2

+5-m，
∵OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴EG=BG，
∴

-m2+4m+5

2

=

m+1

2

+5-m，
整理得，m²-5m+6=0，
解得m₁=2，m₂=3，
当m=2时，-m²+4m+5=-2²+4×2+5=9，
此时，P（2，9），
当m=3时，-m²+4m+5=-3²+4×3+5=8，
此时P（3，8），
∴存在这样的点P（2，9）或P（3，8），使得线段PA被BC平分．