试题

（2013·连云港模拟）如图，抛物线y=-x²+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=-x²+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），
∴

-16+4m+n=0 -4-2m+n=0

，
 解得

m=2 n=8

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8．

（2）设M坐标为（a，-a²+2a+8），其中a＞0．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，8）．
∵A（4，0），C（0，8）．
∴直线AC的解析式为y=-2x+8．
过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为（a，-2a+8）．
∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积
=-a²+4a
=-（a-2）²+4
当a=2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4．

（3）①当∠ACP=90°时，点P的坐标为（1，9.5）；
②当∠CAP=90°时，点P的坐标为（1，-1.5）；
③当∠APC=90°时，点P的坐标为（1，4+

19

）或（1，4-

19

）．
解：（1）∵y=-x²+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），
∴

-16+4m+n=0 -4-2m+n=0

，
 解得

m=2 n=8

．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8．

（2）设M坐标为（a，-a²+2a+8），其中a＞0．
∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，8）．
∵A（4，0），C（0，8）．
∴直线AC的解析式为y=-2x+8．
过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为（a，-2a+8）．
∴△ACM的面积=△MNC的面积+△AMN的面积
=-a²+4a
=-（a-2）²+4
当a=2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4．

（3）①当∠ACP=90°时，点P的坐标为（1，9.5）；
②当∠CAP=90°时，点P的坐标为（1，-1.5）；
③当∠APC=90°时，点P的坐标为（1，4+

19

）或（1，4-

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）．