试题

（2013·廊坊一模）如图，二次函数y=ax²+x+c的图象与x轴交于点A、B两点，且A点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出这个二次函数的解析式；
（2）直接写出点B的坐标为；
（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=ax²+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），
∴c=3，a=-

1

4

，
∴所求解析式为：y=-

1

4

x²+x+3，
答：这个二次函数的解析式是y=-

1

4

x²+x+3．

（2）解：（6，0），
故答案为：（6，0）．

（3）解：在Rt△AOC中，
∵AO=2，OC=3，∴AC=

13

，
，①当P₁A=AC时（P₁在x轴的负半轴），P₁（-2-

13

，0）；
②当P₂A=AC时（P₂在x轴的正半轴），P₂（

13

-2，0）；
③当P₃C=AC时（P₃在x轴的正半轴），P₃（2，0）；
④当P₄C=P₄A时（P₄在x轴的正半轴），
在Rt△P₄OC中，设P₄O=x，则（x+2）²=x²+3²
解得：x=

5

4

，
∴P₄（

5

4

，0）；
答：在x轴存在一点P，使△ACP是等腰三角形，满足条件的P点坐标是（-2-

13

，0）或（

13

-2，0）或（2，0）或（

5

4

，0）．

（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-

1

4

x²+x+3上，
即：Q点坐标为（x，-

1

4

x²+x+3），
连接OQ，
S_{四边形ABQC}=S_△AOC+S_△OQC+S_△OBQ，
=3+

3

2

x+3（-

1

4

x²+x+3）
=-

3

4

x²+

9

2

x+12，
∵a＜0，
∴S_{四边形ABQC最大值}=

75

4

，
Q点坐标为（3，

15

4

），
答：在第一象限中的抛物线上存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大，Q点坐标是（3，

15

4

），面积的最大值是

75

4

．