试题

如图，在平面直角坐标系中，⊙M分别交坐标轴于点A、B、C，圆的半径为

5

，点M（1，-1）．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）若抛物线y=x²+bx+c过点C和点D（2，-3），求抛物线的解析式，并验证A、B两点是否在此抛物线上；
（3）在（2）中抛物线上是否存在一点P，使得直线PO把△BOC的面积分成1：2两部分？若存在，求出直线PO的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）过M作ME⊥AB于E，MF⊥OC于F，如右图；
在Rt△MBE中，MB=

5

，ME=1，则 BE=

BM2-BE2

=

5-1

=2；
∴OB=OE+BE=1+2=3，即 B（3，0），同理可得 A（-1，0）、C（0，-3）．

（2）依题意，有：

c=-3 4+2b+c=-3

，
解得

b=-2 c=-3

故抛物线的解析式：y=x²-2x-3；
当x=-1时，y=1+2-3=0，所以点A在抛物线的图象上；
同理，可证得点B也在抛物线的图象上．

（3）由B（3，0）、C（0，-3）可求得，直线BC：y=x-3；
设直线OP与线段BC的交点为G，则G（x，x-3）（x＞0）；
S_△OBC=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴S_△OBG=

1

3

S_△OBC=

3

2

或S_△OBG=

2

3

S_△OBC=3；
①当S_△OBG=

1

2

×OB×|y_G|=

1

2

×3×（3-x）=

3

2

时，x=2，则 G（2，-1）；
直线OG：y=-

1

2

x；
②当S_△OBG=

1

2

×OB×|y_G|=

1

2

×3×（3-x）=3时，x=1，则 G（1，-2）；
直线OG：y=-2x；
综上，存在符合条件的直线OP，且解析式为：y=-

1

2

x或y=-2x．
解：（1）过M作ME⊥AB于E，MF⊥OC于F，如右图；
在Rt△MBE中，MB=

5

，ME=1，则 BE=

BM2-BE2

=

5-1

=2；
∴OB=OE+BE=1+2=3，即 B（3，0），同理可得 A（-1，0）、C（0，-3）．

（2）依题意，有：

c=-3 4+2b+c=-3

，
解得

b=-2 c=-3

故抛物线的解析式：y=x²-2x-3；
当x=-1时，y=1+2-3=0，所以点A在抛物线的图象上；
同理，可证得点B也在抛物线的图象上．

（3）由B（3，0）、C（0，-3）可求得，直线BC：y=x-3；
设直线OP与线段BC的交点为G，则G（x，x-3）（x＞0）；
S_△OBC=

1

2

×3×3=

9

2

，
∴S_△OBG=

1

3

S_△OBC=

3

2

或S_△OBG=

2

3

S_△OBC=3；
①当S_△OBG=

1

2

×OB×|y_G|=

1

2

×3×（3-x）=

3

2

时，x=2，则 G（2，-1）；
直线OG：y=-

1

2

x；
②当S_△OBG=

1

2

×OB×|y_G|=

1

2

×3×（3-x）=3时，x=1，则 G（1，-2）；
直线OG：y=-2x；
综上，存在符合条件的直线OP，且解析式为：y=-

1

2

x或y=-2x．