试题

已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐系中画出这条抛物线；
（2）若点（x₀，y₀）在抛物线上，且1≤x₀≤4，写出y₀的取值范围；
（3）设平行于y轴的直线x=t交线段BM于点P（点P能与点M重合，不能与点B重合），交x轴于点Q，四边形AQPC的面积为S
①求s关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；
②求S取得最大值时P的坐标；
③设四边形OBMC的面积为S’，判断是否存在点P，使得S=S’，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

∴

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式是：y=-x²+2x+3
∴抛物线的顶点M的坐标是（1，4）

（2）∵抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，
当x₀=1时，y₀=4
当x₀=4时，
y₀=-5，
∴当1≤x₀≤4时，-5≤y₀≤4

（3）①设直线BM的解析式为y=mx+n
把B（3，0），M（1，4）代入得

3m+n=0 m+n=4

，
∴

m=-2 n=6

∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，
∴P点的坐标为：（t，-2t+6），
∴PQ=|-2t+6|=-2t+6，
又OQ=|t|=t  OA=|-1|=1，OC=|3|=3，
∴S=S_△AOC+S_梯形OQPC
=

1

2

×OA×OC+

1

2

（OC+PQ）×OQ 
=

1

2

×1×3+

1

2

×(3-2t+6）×t
=-t2+

9

2

t+

3

2

（1≤t＜3）
②S=-t2+

9

2

t+

3

2

=-（t2-

9

2

t-

3

2

）
=-（t-

9

4

)2+²+

105

16

∴当t=

9

4

时，S最大，
∴S的最大值为

105

16

，这时P点坐标为（

9

4

，

3

2

）
③S=

1

2

×(3+4)×1+

1

2

×2×4
=

7

2

+4
=

15

2

∴S的最大值为

105

16

105

16

＜

15

2

∴S=S′不可能，
∴不存在点P，使S=S′．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

∴

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式是：y=-x²+2x+3
∴抛物线的顶点M的坐标是（1，4）

（2）∵抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，
当x₀=1时，y₀=4
当x₀=4时，
y₀=-5，
∴当1≤x₀≤4时，-5≤y₀≤4

（3）①设直线BM的解析式为y=mx+n
把B（3，0），M（1，4）代入得

3m+n=0 m+n=4

，
∴

m=-2 n=6

∴直线BM的解析式为：y=-2x+6，
∴P点的坐标为：（t，-2t+6），
∴PQ=|-2t+6|=-2t+6，
又OQ=|t|=t  OA=|-1|=1，OC=|3|=3，
∴S=S_△AOC+S_梯形OQPC
=

1

2

×OA×OC+

1

2

（OC+PQ）×OQ 
=

1

2

×1×3+

1

2

×(3-2t+6）×t
=-t2+

9

2

t+

3

2

（1≤t＜3）
②S=-t2+

9

2

t+

3

2

=-（t2-

9

2

t-

3

2

）
=-（t-

9

4

)2+²+

105

16

∴当t=

9

4

时，S最大，
∴S的最大值为

105

16

，这时P点坐标为（

9

4

，

3

2

）
③S=

1

2

×(3+4)×1+

1

2

×2×4
=

7

2

+4
=

15

2

∴S的最大值为

105

16

105

16

＜

15

2

∴S=S′不可能，
∴不存在点P，使S=S′．