试题

如图，抛物线的顶点坐标为M（1，4），与x轴的一个交点是A（-1，0），与y轴交于点B，直线x=1交x轴于点N．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）求经过B、M两点的直线的解析式，并求出此直线与x轴的交点C的坐标；
（3）若点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请你探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过点A，并且与直线BM相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4）
∴设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+4
把A点坐标x=-1，y=0代入，得0=a（-1-1）²+4，
∴a=-1
∴抛物线的解析式是y=-（x-1）²+4
即y=-x²+2x+3
令x=0，得y=3，
∴B点的坐标是（0，3）；

（2）设直线BM的解析式为y=kx+b，
把x=0，y=3；x=1，y=（4分）别代入，得

3=b 4=k+b

，
解得：

k=1 b=3

，
∴直线BM的解析式是y=x+3，
令y=0．得0=x+3，
∴x=-3，
∴C点坐标是（-3，0）；

（3）假设存在满足题意的点P（1，m），其中m＞0．
连接PA，则PA是⊙P的半径．
在Rt△PAN中，PA=

m2+22

=

m2+4

，
过点P作PQ⊥BM，垂足为Q．
则PQ=PA时，⊙P与直线BM相切．
在Rt△MPQ和Rt△MCN，sin∠CMN=

PQ

PM

=

CN

CM

，
∴

m2+4

4-m

=

4

4 2

，
整理，得m²+8m-8=0，
解这个方程，得m1=-4+2

6

，m2=-4-2

6

（，舍去）
∴存在满足题意的点P，其坐标为（1，-4+2

6

）．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，4）
∴设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+4
把A点坐标x=-1，y=0代入，得0=a（-1-1）²+4，
∴a=-1
∴抛物线的解析式是y=-（x-1）²+4
即y=-x²+2x+3
令x=0，得y=3，
∴B点的坐标是（0，3）；

（2）设直线BM的解析式为y=kx+b，
把x=0，y=3；x=1，y=（4分）别代入，得

3=b 4=k+b

，
解得：

k=1 b=3

，
∴直线BM的解析式是y=x+3，
令y=0．得0=x+3，
∴x=-3，
∴C点坐标是（-3，0）；

（3）假设存在满足题意的点P（1，m），其中m＞0．
连接PA，则PA是⊙P的半径．
在Rt△PAN中，PA=

m2+22

=

m2+4

，
过点P作PQ⊥BM，垂足为Q．
则PQ=PA时，⊙P与直线BM相切．
在Rt△MPQ和Rt△MCN，sin∠CMN=

PQ

PM

=

CN

CM

，
∴

m2+4

4-m

=

4

4 2

，
整理，得m²+8m-8=0，
解这个方程，得m1=-4+2

6

，m2=-4-2

6

（，舍去）
∴存在满足题意的点P，其坐标为（1，-4+2

6

）．