试题

在平面直角坐标系xoy中，点C，B的坐标分别为（-4，0），（0，2）．四边形ABCO是平行四边形，抛物线过A，B，C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形？
（3）当t为何值时，以P，B，O为顶点的三角形与以点Q，B，O为顶点的三角形相似？

解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点B，∴c=2．
由题意，有

16a-4b+2=0 16a+4b+2=2.

，
解得

a=- 1 16 b= 1 4 .

∴所求抛物线的解析式为y=-

1

16

x2+

1

4

x+2；

（2）将抛物线的解析式配方，得y=-

1

16

(x-2)2+2

1

4

．
∴抛物线的对称轴为x=2．
当y=0时，x₁=-4，x₂=8
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，BO=EF．
∴△POB≌△QEF
∴BP=FQ．
∴t=6-3t，即t=

3

2

．

（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ，
∴

BP

OB

=

OQ

BO

或

BP

OB

=

BO

OQ

，
即PB=OQ或OB²=PB·QO．
①若P、Q在y轴的同侧．
当PB=OQ时，t=8-3t，
∴t=2．
当OB²=PB·QO时，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得t1=2，t2=

2

3

．
②若P、Q在y轴的异侧．
当PB=OQ时，3t-8=t，
∴t=4．
当OB²=PB·QO时，t（3t-8）=4，即3t²-8t-4=0．
解得t=

4±2 7

3

．
∵0＜t≤4，
∴t=

4-2 7

3

舍去，
∴t=

4+2 7

3

．
∴当t=2或t=

2

3

或t=4或t=

4+2 7

3

秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．
解：（1）∵四边形ABCO是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点B，∴c=2．
由题意，有

16a-4b+2=0 16a+4b+2=2.

，
解得

a=- 1 16 b= 1 4 .

∴所求抛物线的解析式为y=-

1

16

x2+

1

4

x+2；

（2）将抛物线的解析式配方，得y=-

1

16

(x-2)2+2

1

4

．
∴抛物线的对称轴为x=2．
当y=0时，x₁=-4，x₂=8
∴D（8，0），E（2，2），F（2，0）．
欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE，BO=EF．
∴△POB≌△QEF
∴BP=FQ．
∴t=6-3t，即t=

3

2

．

（3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ，
∴

BP

OB

=

OQ

BO

或

BP

OB

=

BO

OQ

，
即PB=OQ或OB²=PB·QO．
①若P、Q在y轴的同侧．
当PB=OQ时，t=8-3t，
∴t=2．
当OB²=PB·QO时，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．
解得t1=2，t2=

2

3

．
②若P、Q在y轴的异侧．
当PB=OQ时，3t-8=t，
∴t=4．
当OB²=PB·QO时，t（3t-8）=4，即3t²-8t-4=0．
解得t=

4±2 7

3

．
∵0＜t≤4，
∴t=

4-2 7

3

舍去，
∴t=

4+2 7

3

．
∴当t=2或t=

2

3

或t=4或t=

4+2 7

3

秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似．