试题

题目：
青果学院如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过菱形ABCO的顶点A、C、O，其对称轴经过点B．
（1）求b与c的值；
（2）如果这个菱形的面积为6
3
，求这个二次函数的解析式．
答案
解：（1）∵图象经过（0，0），
∴c=0，
∵B，C关于y轴对称，
∵x=-
b
2a
，
∴AM=
b
2a
，
AB=
b
a
，
∴BM=
3
×
b
2a
=
3
b
2a
，
∴C点的坐标为：（
b
2a
，
3
b
2a
）；
∴代入y=ax2+bx得：
3
b
2a
=a×(
b
2a
)2+b×
b
2a
，
解得：
3
=
3
2
b，
∴b=
2
3
3
；

（2）∵菱形的面积为6
3
，
∴BM×AO=6
3
，
∵假设AB=AO=2a，AM=MO=a，
∴BM=
3
a，
∴
3
a×2a=6
3
，
解得：a=
3
，
∴A（-2
3
，0），x=-
3
，C（
3
，3），
∴二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c将点代入得：
12a-2
3
b+c=0
c=0
3a+
3
b+c=3
，
解得：
a=
1
3
b=
2
3
3
c=0
，
∴二次函数的解析式为：y=
1
3
x2+
2
3
3
x．
解：（1）∵图象经过（0，0），
∴c=0，
∵B，C关于y轴对称，
∵x=-
b
2a
，
∴AM=
b
2a
，
AB=
b
a
，
∴BM=
3
×
b
2a
=
3
b
2a
，
∴C点的坐标为：（
b
2a
，
3
b
2a
）；
∴代入y=ax2+bx得：
3
b
2a
=a×(
b
2a
)2+b×
b
2a
，
解得：
3
=
3
2
b，
∴b=
2
3
3
；

（2）∵菱形的面积为6
3
，
∴BM×AO=6
3
，
∵假设AB=AO=2a，AM=MO=a，
∴BM=
3
a，
∴
3
a×2a=6
3
，
解得：a=
3
，
∴A（-2
3
，0），x=-
3
，C（
3
，3），
∴二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c将点代入得：
12a-2
3
b+c=0
c=0
3a+
3
b+c=3
，
解得：
a=
1
3
b=
2
3
3
c=0
，
∴二次函数的解析式为：y=
1
3
x2+
2
3
3
x．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）根据图象可知图象经过（0，0），再利用菱形性质得出C点的坐标求出b的值即可；
（2）根据假设AB=AO=2a，AM=MO=a，得出A，C点的坐标，再利用待定系数法求出解析式即可．
此题主要考查了菱形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合得出C点的坐标是解决问题的关键．
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