试题

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线y=

2

3

x2-

10

3

x+c经过B点．
（1）请写出抛物线对应的函数关系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，线段CD下方的抛物线上有一个动点M．过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

解：（1）∵抛物线y=

2

3

x2-

10

3

x+c经过B点，B点的坐标是（0，4），
∴4=0-0+c，即c=4，
∴该抛物线的解析式为：y=

2

3

x2-

10

3

x+4；

（2）∵A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），
∴OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，根据勾股定理知，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5．
假设点C、D都在抛物线y=

2

3

x2-

10

3

x+4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当x=5时，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4，
当x=2时，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上；

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
则

4=5k+b 0=2k+b

，
解得，

k= 4 3 b=- 8 3

，
故直线CD的解析式为y=

4

3

x-

8

3

．
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t；
则y_M=

2

3

×t²-

10

3

t+4，y_N=

4

3

t-

8

3

．
∴l=y_N-y_M=

4

3

t-

8

3

-（

2

3

×t²-

10

3

t+4）=-

2

3

（t-

7

2

）²+

3

2

．
∵-

2

3

＜0，
∴当t=

7

2

时，l_最大=

3

2

，此时y_M=

2

3

×（

7

2

）²-

10

3

×

7

2

+4=

1

2

．
此时点M的坐标为（

7

2

，

1

2

）．
解：（1）∵抛物线y=

2

3

x2-

10

3

x+c经过B点，B点的坐标是（0，4），
∴4=0-0+c，即c=4，
∴该抛物线的解析式为：y=

2

3

x2-

10

3

x+4；

（2）∵A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），
∴OA=3，OB=4，
在Rt△ABO中，根据勾股定理知，AB=

OA2+OB2

=

32+42

=5．
假设点C、D都在抛物线y=

2

3

x2-

10

3

x+4．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=DA=AB=5，
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；
当x=5时，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4，
当x=2时，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0，
∴点C和点D在所求抛物线上；

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
则

4=5k+b 0=2k+b

，
解得，

k= 4 3 b=- 8 3

，
故直线CD的解析式为y=

4

3

x-

8

3

．
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，
∴N点的横坐标也为t；
则y_M=

2

3

×t²-

10

3

t+4，y_N=

4

3

t-

8

3

．
∴l=y_N-y_M=

4

3

t-

8

3

-（

2

3

×t²-

10

3

t+4）=-

2

3

（t-

7

2

）²+

3

2

．
∵-

2

3

＜0，
∴当t=

7

2

时，l_最大=

3

2

，此时y_M=

2

3

×（

7

2

）²-

10

3

×

7

2

+4=

1

2

．
此时点M的坐标为（

7

2

，

1

2

）．