试题

如图所示，在平面直角坐标系中，现将一张等腰直角三角形纸片ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点B的坐标为（-3，1），且抛物线y=ax²+ax-4a经过点B．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）求点A和点C的坐标；
（Ⅲ）以AC所在直线为对称轴，将△ABC折叠，问点B的对称点B₁是否落在抛物线上？再以AC的中点为对称中心，将△ABC作中心对称变换，这时点B的对称点B₂是否落在抛物线上？若在，求出它们的坐标；若不在，请说明理由．

解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax²+ax-4a经过点B，
∴1=9a-3a-4a，
解得：a=

1

2

；
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（Ⅱ）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∵点B坐标是（-3，1），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点A的坐标S是（0，2），点C的坐标是（-1，0）；

（Ⅲ）B₁和B₂都在抛物线上，
延长BC至点B₁，使得B₁C=BC，得到点B的对称点B₁，
过点B₁作B₁M⊥x轴，
∵CB₁=CB，∠MCB₁=∠BCD，∠B₁MC=BDC=90°，
∴△MB₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，B₁M=BD=1，
可求得点B₁（1，-1），
过点A作AB₂∥CB，且AB₂=CB，得到点B的对称点B₂，
过点B₂作B₂N⊥y轴，
同理可证△AB₂N≌△CAO，
∴NB₂=OA=2，AN=OC=1，
可求得点B₂（2，1），
经检验，点B₁（1，-1）与点B₂（2，1）都在抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2上．
解：（Ⅰ）∵抛物线y=ax²+ax-4a经过点B，
∴1=9a-3a-4a，
解得：a=

1

2

；
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（Ⅱ）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BCD≌△CAO，
∵点B坐标是（-3，1），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点A的坐标S是（0，2），点C的坐标是（-1，0）；

（Ⅲ）B₁和B₂都在抛物线上，
延长BC至点B₁，使得B₁C=BC，得到点B的对称点B₁，
过点B₁作B₁M⊥x轴，
∵CB₁=CB，∠MCB₁=∠BCD，∠B₁MC=BDC=90°，
∴△MB₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，B₁M=BD=1，
可求得点B₁（1，-1），
过点A作AB₂∥CB，且AB₂=CB，得到点B的对称点B₂，
过点B₂作B₂N⊥y轴，
同理可证△AB₂N≌△CAO，
∴NB₂=OA=2，AN=OC=1，
可求得点B₂（2，1），
经检验，点B₁（1，-1）与点B₂（2，1）都在抛物线y=

1

2

x²+

1

2

x-2上．