试题

已知点A（2，-2）和点B（-4，n）在抛物线y=ax²（a≠0）上．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点P在y轴上，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
（3）平移抛物线y=ax²（a≠0），记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′．点M（2，0）在x轴上，当抛物线向右平移到某个位置时，A′M+MB′最短，求此时抛物线的函数解析式．

解：（1）∵点A（2，-2）在抛物线y=ax²（a≠0）上．
∴a=-

1

2

，
抛物线解析式为：y=-

1

2

x2，
∴当x=-4，则n=-8，
∴B点坐标为：B（-4，-8）；

（2）如图1，记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点，
则直线AB：y=x-4，
C（4，0），D（0，-4），
Rt△COD中，
∵CO=DO，
∴∠ODA=45°，
①以A为直角顶点，则∠P₁AB=90°，
Rt△P₁AD中，∠P₁DA=45°，
则

AD

P1D

=cos45°=

2

2

，
∴P1D=

2

AD=4，
又∵D（0，-4），
∴P₁（0，0），
②以B为直角顶点，则∠DBP₂=90°，
Rt△DBP₂中，∠BDP₂=∠ODC=45°，
∴DP2=

2

BD=8，
∴P（0，-12），
∴综上所述：P（0，0）或（0，-12）；

（3）如图2，记点A关于x轴的对称点为：E（2，2），
将B，E代入y=kx+h得：

2k+h=2 -4k+h=-8

，
解得：

k= 5 3 b=- 4 3

，
则直线BE的解析式为：y=

5

3

x-

4

3

令y=0，得x=

4

5

即BE与x轴的交点为：Q(

4

5

，0)，
MQ=|2-

4

5

|=

6

5

，
故抛物线y=-

1

2

x2向右平移

6

5

个单位时A'M+MB'最短，
此时，抛物线的解析式为：y=-

1

2

(x-

6

5

)2．
解：（1）∵点A（2，-2）在抛物线y=ax²（a≠0）上．
∴a=-

1

2

，
抛物线解析式为：y=-

1

2

x2，
∴当x=-4，则n=-8，
∴B点坐标为：B（-4，-8）；

（2）如图1，记直线AB与x、y轴分别交于C、D两点，
则直线AB：y=x-4，
C（4，0），D（0，-4），
Rt△COD中，
∵CO=DO，
∴∠ODA=45°，
①以A为直角顶点，则∠P₁AB=90°，
Rt△P₁AD中，∠P₁DA=45°，
则

AD

P1D

=cos45°=

2

2

，
∴P1D=

2

AD=4，
又∵D（0，-4），
∴P₁（0，0），
②以B为直角顶点，则∠DBP₂=90°，
Rt△DBP₂中，∠BDP₂=∠ODC=45°，
∴DP2=

2

BD=8，
∴P（0，-12），
∴综上所述：P（0，0）或（0，-12）；

（3）如图2，记点A关于x轴的对称点为：E（2，2），
将B，E代入y=kx+h得：

2k+h=2 -4k+h=-8

，
解得：

k= 5 3 b=- 4 3

，
则直线BE的解析式为：y=

5

3

x-

4

3

令y=0，得x=

4

5

即BE与x轴的交点为：Q(

4

5

，0)，
MQ=|2-

4

5

|=

6

5

，
故抛物线y=-

1

2

x2向右平移

6

5

个单位时A'M+MB'最短，
此时，抛物线的解析式为：y=-

1

2

(x-

6

5

)2．