试题

（2013·黄浦区二模）已知二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点P（0，1）与Q（2，-3）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形
①求正方形的ABCD的面积；
②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．

（1）解：∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点P（0，1）与Q（2，-3），
∴

c=1 -4+2b+c=-3

，
解得

b=0 c=1

，
∴此二次函数的解析式为y=-x²+1；

（2）①解：如图，∵二次函数图象关于y轴对称，
∴正方形ABCD关于y轴对称，
设点A的坐标为（m，2m），则-m²+1=2m，
解得m₁=

2

-1，m₂=-

2

-1（舍去），
∴正方形的边长2m=2

2

-2，
∴正方形ABCD的面积=（2

2

-2）²=12-8

2

；

②证明：设AB与x轴交于点F，
∵A（

2

-1，2

2

-2），
∴AF=

2

-1，PF=1-（2

2

-2）=3-2

2

，
∵

PF

AF

=

3-2 2

2 -1

=

2

-1，

OD

OP

=

2 -1

1

=

2

-1，
∴

PF

AF

=

OD

OP

，
又∵∠AFP=∠POD，
∴△APF∽△PDO，
∴∠PAF=∠DPO，
∵AD∥y轴，
∴∠DPO=∠ADP，
∴∠PAF=∠ADP，
又∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA．
（1）解：∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点P（0，1）与Q（2，-3），
∴

c=1 -4+2b+c=-3

，
解得

b=0 c=1

，
∴此二次函数的解析式为y=-x²+1；

（2）①解：如图，∵二次函数图象关于y轴对称，
∴正方形ABCD关于y轴对称，
设点A的坐标为（m，2m），则-m²+1=2m，
解得m₁=

2

-1，m₂=-

2

-1（舍去），
∴正方形的边长2m=2

2

-2，
∴正方形ABCD的面积=（2

2

-2）²=12-8

2

；

②证明：设AB与x轴交于点F，
∵A（

2

-1，2

2

-2），
∴AF=

2

-1，PF=1-（2

2

-2）=3-2

2

，
∵

PF

AF

=

3-2 2

2 -1

=

2

-1，

OD

OP

=

2 -1

1

=

2

-1，
∴

PF

AF

=

OD

OP

，
又∵∠AFP=∠POD，
∴△APF∽△PDO，
∴∠PAF=∠DPO，
∵AD∥y轴，
∴∠DPO=∠ADP，
∴∠PAF=∠ADP，
又∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA．