试题

（2013·丰南区一模）阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S_△ABC=

1

2

ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）

（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S_△CAB；
（3）在第一象限内求一点P，使S_△PAB=S_△CAB．

解：（1）设抛物线的解析式为：y1=a(x-1)2+4，
把B（0，3）代入解析式求得a=-1
所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3，
令y₁=0，得0=-x²+2x+3，解得x₁=-1，x₂=3
∴A点的坐标为（3，0）
∴AB=3

2

；

（2）设直线AB的解析式为：y₂=kx+b
由A（3，0），B（0，3）
∴

3k+b=0 b=3

∴直线AB的解析式为y₂=-x+3 …（4分）
因为C点坐标为（1，4），
所以当x=1时，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4-2=2，
S△CAB=

1

2

×3×2=3（平方单位）；

（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x；
由S_△PAB=S_△CAB得：

1

2

×3(-x2+3x)=3，
解得x=2或x=1（舍）．
所以P（2，3）．
解：（1）设抛物线的解析式为：y1=a(x-1)2+4，
把B（0，3）代入解析式求得a=-1
所以y1=-(x-1)2+4=-x2+2x+3，
令y₁=0，得0=-x²+2x+3，解得x₁=-1，x₂=3
∴A点的坐标为（3，0）
∴AB=3

2

；

（2）设直线AB的解析式为：y₂=kx+b
由A（3，0），B（0，3）
∴

3k+b=0 b=3

∴直线AB的解析式为y₂=-x+3 …（4分）
因为C点坐标为（1，4），
所以当x=1时，y₁=4，y₂=2，
所以CD=4-2=2，
S△CAB=

1

2

×3×2=3（平方单位）；

（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，
则h=y1-y2=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x；
由S_△PAB=S_△CAB得：

1

2

×3(-x2+3x)=3，
解得x=2或x=1（舍）．
所以P（2，3）．