试题

（2013·丹东一模）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），点D是抛物线的顶点，直线m经过B、C两点．
（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标．
（2）若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交线段BC于点G，设E点的坐标为（x，y），问EG是否存在最大值？如果存在，求出E点坐标及这个最大值；如果不存在，请说明理由．
（3）若P点是直线BC上的一个动点，且S_△ABP：S_△ACP=1：2，请直接写出点P的坐标．

解；（1）抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴函数关系式为：y=-x²+2x+3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为：（1，4）；

（2）设直线BC的函数关系是y=kx+z，
根据题意得出：

3k+z=0 z=3

，
解得：

k=-1 z=3

，
∴直线BC的函数关系是：y=-x+3，
设E（x，-x²+2x+3），则G（x，-x+3），
∴EG=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴当x=

3

2

时，EG有最大值，最大值为

9

4

，
当x=

3

2

时，y=-x²+2x+3=-

9

4

+

3

2

×2+3=

15

4

，
∴E点坐标为：（

3

2

，

15

4

）；

（3）根据题意得出：∵S_△ABP：S_△ACP=1：2，
∴当P在线段BC上时，2BP=CP，
∴此时P点横坐标为：2，代入y=-x+3，
∴纵坐标为：1，
此时P点坐标为；（2，1）
同理可得出：当P在射线BC上时，PC=2BP，
此时P点横坐标为：6，则纵坐标为：-3，
此时P点坐标为；（6，-3）
综上所述：P点坐标为；（2，1）或（6，-3）．
解；（1）抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴函数关系式为：y=-x²+2x+3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为：（1，4）；

（2）设直线BC的函数关系是y=kx+z，
根据题意得出：

3k+z=0 z=3

，
解得：

k=-1 z=3

，
∴直线BC的函数关系是：y=-x+3，
设E（x，-x²+2x+3），则G（x，-x+3），
∴EG=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

，
∴当x=

3

2

时，EG有最大值，最大值为

9

4

，
当x=

3

2

时，y=-x²+2x+3=-

9

4

+

3

2

×2+3=

15

4

，
∴E点坐标为：（

3

2

，

15

4

）；

（3）根据题意得出：∵S_△ABP：S_△ACP=1：2，
∴当P在线段BC上时，2BP=CP，
∴此时P点横坐标为：2，代入y=-x+3，
∴纵坐标为：1，
此时P点坐标为；（2，1）
同理可得出：当P在射线BC上时，PC=2BP，
此时P点横坐标为：6，则纵坐标为：-3，
此时P点坐标为；（6，-3）
综上所述：P点坐标为；（2，1）或（6，-3）．