试题

（2013·澄江县二模）如图，已知：直线m分别与x轴、y轴相交于A、B两点，抛物线y=ax²+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．
（1）求直线m的解析式；
（2）求抛物线的解析式及对称轴；
（3）已知D（-1，0）在x轴上．问：在直线m上是否存在一点P使△ABO与△ADP相似？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

解：（1）把A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b，得

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-2 b=3

，
∴直线m解析式为y=-x+3；

（2）把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax²+bx+c得方程组

9a+3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；对称轴：直线x=2；

（3）存在，由题意可知：△ABO为等腰直角三角形（如图），

分两种情况考虑：
（i）若△ABO∽△AP₁D，则

AO

AD

=

OB

DP1

，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）；
（ii）若△ABO∽△ADP₂，过点P₂作P₂M⊥x轴于M，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP₂是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P₂M，即点M与点C重合，
∴P₂（1，2）．
解：（1）把A（3，0），B（0，3）代入y=kx+b，得

3k+b=0 b=3

，
解得：

k=-2 b=3

，
∴直线m解析式为y=-x+3；

（2）把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax²+bx+c得方程组

9a+3b+c=0 c=3 a+b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3；对称轴：直线x=2；

（3）存在，由题意可知：△ABO为等腰直角三角形（如图），

分两种情况考虑：
（i）若△ABO∽△AP₁D，则

AO

AD

=

OB

DP1

，
∴DP₁=AD=4，
∴P₁（-1，4）；
（ii）若△ABO∽△ADP₂，过点P₂作P₂M⊥x轴于M，AD=4，
∵△ABO为等腰三角形，
∴△ADP₂是等腰三角形，由三线合一可得：DM=AM=2=P₂M，即点M与点C重合，
∴P₂（1，2）．