试题

已知，二次函数y=ax²+bx的图象如图所示．
（1）若二次函数的对称轴方程为x=1，求二次函数的解析式；
（2）已知一次函数y=kx+n，点P（m，0）是x轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=ax²+bx的图象于点N．若只有当1＜m＜

5

3

时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式；
（3）若一元二次方程ax²+bx+q=0有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出q的最大值．

解：（1）由二次函数的图象可知：二次函数的顶点坐标为（1，-3），
∵二次函数的对称轴方程为x=1，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），
于是得到方程组

a+b=-3 4a+2b=0.

，
解得：

a=3 b=-6.

，
故二次函数的解析式为 y=3x²-6x．

（2）由（1）得二次函数解析式为y=3x²-6x．
依题意可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和

5

3

，
由此可得交点坐标为（1，-3）和(

5

3

， -

5

3

)，
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+n中，
得

k+n=-3 5 3 k+n=- 5 3

，
解得：

k=2 n=-5

，
故一次函数的解析式为y=2x-5．

（3）一元二次方程ax²+bx+q=0有实数根，可以理解为y=ax²+bx和y=-q有交点，

可见，-q≥-3，
解得：q≤3，
故q的最大值为3．
解：（1）由二次函数的图象可知：二次函数的顶点坐标为（1，-3），
∵二次函数的对称轴方程为x=1，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），
于是得到方程组

a+b=-3 4a+2b=0.

，
解得：

a=3 b=-6.

，
故二次函数的解析式为 y=3x²-6x．

（2）由（1）得二次函数解析式为y=3x²-6x．
依题意可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和

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，
由此可得交点坐标为（1，-3）和(

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， -

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)，
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+n中，
得

k+n=-3 5 3 k+n=- 5 3

，
解得：

k=2 n=-5

，
故一次函数的解析式为y=2x-5．

（3）一元二次方程ax²+bx+q=0有实数根，可以理解为y=ax²+bx和y=-q有交点，

可见，-q≥-3，
解得：q≤3，
故q的最大值为3．