试题

己知：如图1，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（O，-4），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P（t，O）是线段AB上一动点（不与A、B重合），过P点作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△CPE的面积S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3）如图2，若平行于x轴的动直线r与该抛物线交于点Q，与直线AC交于F，点D的坐标为（2，0）．问是否存在这样的直线r，使得△0DF为等腰三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得

16a-8a+c=0 c=-4

，
解得

a=0.5 c=-4

∴该抛物线的函数解析式为y=0.5x²-x-4；

（2）过点E作EG⊥x轴于G，
由0.5x²-x-4=0，
得x₁=-2，x₂=4．
AB=6，BP=2+t，
证△BPE∽△BAC，可得EG=

2

3

（t+2），
S=S_△CPB-S_△BPE=

1

2

BP·CO-

1

2

BP·EG=

1

2

（t+2）（4-

2

3

（t+2））=-

1

3

t²+

2

3

t+

8

3

-2＜t＜4．

（3）这样的Q点存在，使得△ODF为等腰三角形．
①当OF=DF时，Q（x．-3）
0.5x²-x-4=-3，x=1±

3

，
∴Q1(1+

3

，-3)，Q2(1-

3

，-3)
②当OD=DF=2时，Q（x，-2）
0.5x²-x-4=-2，x=1±

5

，
∴Q3(1+

5

，-2)，Q4(1-

5

，-2)．
解：（1）由题意得

16a-8a+c=0 c=-4

，
解得

a=0.5 c=-4

∴该抛物线的函数解析式为y=0.5x²-x-4；

（2）过点E作EG⊥x轴于G，
由0.5x²-x-4=0，
得x₁=-2，x₂=4．
AB=6，BP=2+t，
证△BPE∽△BAC，可得EG=

2

3

（t+2），
S=S_△CPB-S_△BPE=

1

2

BP·CO-

1

2

BP·EG=

1

2

（t+2）（4-

2

3

（t+2））=-

1

3

t²+

2

3

t+

8

3

-2＜t＜4．

（3）这样的Q点存在，使得△ODF为等腰三角形．
①当OF=DF时，Q（x．-3）
0.5x²-x-4=-3，x=1±

3

，
∴Q1(1+

3

，-3)，Q2(1-

3

，-3)
②当OD=DF=2时，Q（x，-2）
0.5x²-x-4=-2，x=1±

5

，
∴Q3(1+

5

，-2)，Q4(1-

5

，-2)．