试题

题目：
青果学院如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当点P在何位置时，△ADQ的面积最小并求出这个最小面积．
答案
解：设BP=x，
∵∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°，
∴∠BAP=∠CPQ，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴
AB
PC
=
BP
CQ
，
∴CQ=
BP·PC
AB
=
x(4-x)
4
=-
1
4
x2+x，
∴DQ=
1
4
x2-x+4
∴S△ADQ=
1
2
AD·DQ=
1
2
×4（
1
4
x2-x+4）
=
1
2
x2-2x+8，
∴当x=-
-2
2×
1
2
=2时，S△ADQ=6．即当点P在BC中点时，△ADQ有最小值6．
解：设BP=x，
∵∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°，
∴∠BAP=∠CPQ，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴
AB
PC
=
BP
CQ
，
∴CQ=
BP·PC
AB
=
x(4-x)
4
=-
1
4
x2+x，
∴DQ=
1
4
x2-x+4
∴S△ADQ=
1
2
AD·DQ=
1
2
×4（
1
4
x2-x+4）
=
1
2
x2-2x+8，
∴当x=-
-2
2×
1
2
=2时，S△ADQ=6．即当点P在BC中点时，△ADQ有最小值6．
考点梳理
二次函数综合题．
设出一个变量，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式，把最小面积问题转化为二次函数的最小值问题解答．
解答此题的关键是将面积问题转化为二次函数的最小值问题，体现了数形结合思想和转化思想在解题中的应用．
综合题．
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