试题

题目：
对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，此时称该点青果学院（x，y）为整点，该函数的图象为整点抛物线（例如：y=x2+2x+2）．
（1）请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式
y=
1
2
x2+
1
2
x+1等
y=
1
2
x2+
1
2
x+1等
（不必证明）；
（2）请直接写出整点抛物线y=x2+2x+2与直线y=4围成的阴影图形中（不包括边界）所含的整点个数有
4
4
个．
答案
y=
1
2
x2+
1
2
x+1等

4

解：（1）y=
1
2
x2+
1
2
x+1，
或y=
1
2
x2+
3
2
x+1．
或y=
1
2
x2+
1
2
x+2等；

（2）观察图形，可知抛物线y=x2+2x+2与直线y=4围成的阴影图形中（不包括边界）所含的整点有
（-1，2），（-1，3），（-2，3），（0，3），一共4个．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）由于二次项系数的绝对值小于1，可令a=
1
2
，则y=
1
2
x2+bx+c，再把一些整数如：±1，±2等代入，根据y值也为整数，即可写出符合条件的抛物线的解析式，答案不唯一；
（2）观察图形，可得出结果．
本题（1）为开放性试题，答案不唯一．考查了学生读题做题的能力，同时体现了数形结合的思想．
开放型．
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