试题

如图，在矩形ABCO中，AO=3，tan∠ACB=

4

3

，以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系．设D，E分别是线段AC，OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动，设运动时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）用含t的代数式表示点D，点E的坐标；
（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，求经过O、D、E三点的抛物线的解析式（只需求出一条即可）．

解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，
∴CO=AO·tan∠CAO=AO·tan∠ACB=4，
则A（0，3），C（4，0）．
设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，
得：4k+3=0，k=-

3

4

．
故直线AC的解析式为：y=-

3

4

x+3；

（2）过点D作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，
则有△ADF∽△DCH∽△ACO，
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
∵AD=3t（其中0≤t≤

5

3

），OC=AB=4，AC=5，
∴3t：（5-3t）：5=AF：DH：3=FD：HC：4，
∴FD=

12

5

t，AF=

9

5

t，DH=3-

9

5

t，HC=4-

12

5

t，
∴点D的坐标为（

12

5

t，3-

9

5

t）．
∵CE=t，
∴OE=OC-CE=4-t，
∴点E的坐标为（4-t，0）；

（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，∠ODE=90°，∠DOH=∠EDH，
又∵∠OHD=∠DHE=90°，
∴△OHD∽△DHE，
∴DH：EH=OH：DH，即DH²=EH·OH，
∵DH=3-

9

5

t，OH=FD=

12

5

t，EH=CH-CE=4-

17

5

t，
∴（3-

9

5

t）²=（4-

17

5

t）·

12

5

t，
即：19t²-34t+15=0，
t₁=1，t₂=

15

19

．
①当t=1时，D（

12

5

，

6

5

），E（3，0）．
设经过O、D、E三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将D、E两点的坐标代入，得

144 25 a+ 12 5 b= 6 5 9a+3b=0

，
解得 

a=- 5 6 b= 5 2

，
∴y=-

5

6

x²+

5

2

x；
②当t₂=

15

19

时，同理可得y=-

19

30

x²+

61

30

x．
（以上①②解出一种即可）
解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，
∴CO=AO·tan∠CAO=AO·tan∠ACB=4，
则A（0，3），C（4，0）．
设直线AC的解析式为：y=kx+3，代入C点坐标，
得：4k+3=0，k=-

3

4

．
故直线AC的解析式为：y=-

3

4

x+3；

（2）过点D作DF⊥AO，DH⊥CO，垂足分别为F，H，
则有△ADF∽△DCH∽△ACO，
∴AD：DC：AC=AF：DH：AO=FD：HC：OC，
∵AD=3t（其中0≤t≤

5

3

），OC=AB=4，AC=5，
∴3t：（5-3t）：5=AF：DH：3=FD：HC：4，
∴FD=

12

5

t，AF=

9

5

t，DH=3-

9

5

t，HC=4-

12

5

t，
∴点D的坐标为（

12

5

t，3-

9

5

t）．
∵CE=t，
∴OE=OC-CE=4-t，
∴点E的坐标为（4-t，0）；

（3）当以O、D、E三点为顶点的三角形是直角三角形时，∠ODE=90°，∠DOH=∠EDH，
又∵∠OHD=∠DHE=90°，
∴△OHD∽△DHE，
∴DH：EH=OH：DH，即DH²=EH·OH，
∵DH=3-

9

5

t，OH=FD=

12

5

t，EH=CH-CE=4-

17

5

t，
∴（3-

9

5

t）²=（4-

17

5

t）·

12

5

t，
即：19t²-34t+15=0，
t₁=1，t₂=

15

19

．
①当t=1时，D（

12

5

，

6

5

），E（3，0）．
设经过O、D、E三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将D、E两点的坐标代入，得

144 25 a+ 12 5 b= 6 5 9a+3b=0

，
解得 

a=- 5 6 b= 5 2

，
∴y=-

5

6

x²+

5

2

x；
②当t₂=

15

19

时，同理可得y=-

19

30

x²+

61

30

x．
（以上①②解出一种即可）