试题

如图，抛物线y=

1

2

x2-x+c经过点A（0，-

1

2

），直线y=kx-

1

2

交抛物线于点P（点P不与点A重合）．
（1）①直接写出c的值；
②求证：点P的横坐标为2k+2；
（2）过点P作直线y=2kx+b交抛物线于点B，交y轴于点C．已知PB=2BC．
①求点P的坐标；（友情提示：如需要，可以运用以下定理：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则有x1+x2=-

b

a

，x1·x2=

c

a

)
②求tan∠APB的值．

（1）解：①∵抛物线y=

1

2

x2-x+c经过点A（0，-

1

2

），
∴c=-

1

2

，

②证明：设P（a，

1

2

a2-a-

1

2

），
则ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

解得a=0（舍去），或a=2k+2，
即点P的横坐标是2k+2；

（2）解：①∵P（a，

1

2

a2-a-

1

2

）
依题意：ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

，
∴k=

1

2

a-1，
∵PB=2BC，
∴PC=3BC，即点B的横坐标是

a

3

，
∴点B(

1

3

a，

1

18

a2-

1

3

a-

1

2

)，
依题意

2ka+b= 1 2 a2-a- 1 2 2k· 1 3 a+b= 1 18 a2- 1 3 a- 1 2

∴k=

4 9 a2- 2 3 a

4 3 a

=

1

3

a-

1

2

，
∴

1

3

a-

1

2

=

1

2

a-1，
解得a=3，
即点P（3，1），
另解：由

1

2

x2-x-

1

2

=2kx+b，可得x²-（4k+2）x-2b-1=0，
根据根与系数的关系x_B+（2k+2）=4k+2，
∴x_B=2k
∵PB=2BC，∴PC=3BC，∴2k+2=6k，
解得k=

1

2

，可知a=3，即点P（3，1），

②由上题可知：直线PB的解析式y=x-2，
∴点C（0，-2），
作PE⊥y轴于点E，则PE=CE=3，
∴∠PCE=45°，PC=3

2

，
作AD⊥PC于点D，则AD=CD=

3

2 2

=

3 2

4

，
∴PD=PC-CD=3

2

-

3 2

4

=

9 2

4

，
在Rt△APD中，tan∠APB=

3 4 2

9 4 2

=

1

3

．
（1）解：①∵抛物线y=

1

2

x2-x+c经过点A（0，-

1

2

），
∴c=-

1

2

，

②证明：设P（a，

1

2

a2-a-

1

2

），
则ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

解得a=0（舍去），或a=2k+2，
即点P的横坐标是2k+2；

（2）解：①∵P（a，

1

2

a2-a-

1

2

）
依题意：ka-

1

2

=

1

2

a2-a-

1

2

，
∴k=

1

2

a-1，
∵PB=2BC，
∴PC=3BC，即点B的横坐标是

a

3

，
∴点B(

1

3

a，

1

18

a2-

1

3

a-

1

2

)，
依题意

2ka+b= 1 2 a2-a- 1 2 2k· 1 3 a+b= 1 18 a2- 1 3 a- 1 2

∴k=

4 9 a2- 2 3 a

4 3 a

=

1

3

a-

1

2

，
∴

1

3

a-

1

2

=

1

2

a-1，
解得a=3，
即点P（3，1），
另解：由

1

2

x2-x-

1

2

=2kx+b，可得x²-（4k+2）x-2b-1=0，
根据根与系数的关系x_B+（2k+2）=4k+2，
∴x_B=2k
∵PB=2BC，∴PC=3BC，∴2k+2=6k，
解得k=

1

2

，可知a=3，即点P（3，1），

②由上题可知：直线PB的解析式y=x-2，
∴点C（0，-2），
作PE⊥y轴于点E，则PE=CE=3，
∴∠PCE=45°，PC=3

2

，
作AD⊥PC于点D，则AD=CD=

3

2 2

=

3 2

4

，
∴PD=PC-CD=3

2

-

3 2

4

=

9 2

4

，
在Rt△APD中，tan∠APB=

3 4 2

9 4 2

=

1

3

．