试题

已知对称轴平行于y轴的抛物线经过点B（0，1），顶点是A（2，0），
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使以BP为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在说明理由；若存在，求出符合条件的圆的直径长度；
（3）对于（2）中的点P，当△ABP能构成时，点M是抛物线上A、P之间的动点，求△BMP面积最大值．

解：（1）∵对称轴平行于y轴的抛物线的顶点是A（2，0），
∴设该抛物线的解析式为y=a（x-2）²．
又∵该抛物线经过点B（0，1），
∴1=a（0-2）²，
解得，a=

1

4

．
∴该抛物线的解析式为：y=

1

4

（x-2）²（或y=

1

4

x²-x+1）；

（2）假设在抛物线上存在一点P，使以BP为直径的圆经过抛物线的顶点A，其坐标为P（x，y）．
如图，过点P作PD⊥⊥x轴于D，连接AB、AP．
根据题意知，点A是以BP为直径的圆上的一点，则∠BAP=90°（直径所对的圆周角是直角）．
则易证△AOB∽△PDA，
∴

OB

AD

=

OA

PD

，即

1

x-2

=

2

y

，
∴y=2x-4；
又∵点P是抛物线y=

1

4

（x-2）²上的一点，
∴

y=2x-4 y= 1 4 (x-2)2

，解得

x=2 y=0

或

x=10 y=16

，即点P（2，0）或（10，16）．
①当点P的坐标是（2，0），点P与点A重合，此时该圆的直径AB=

12+22

=

5

；
②当点P的坐标是（10，16），此时该圆的直径BP=

(10-0)2+(16-1)2

=5

13

；

（3）如图2，由（2）知，当点P的坐标是（10，16）时，点A、B、P能构成直角三角形．
由B（0，1），P（10，16）可知，BP=直线BP的解析式为：y=

3

2

x+1，即3x-2y+2=0．
设M（a，

1

4

a²-

1

2

a+1）（2＜a＜16）．则点M到直线的距离d=

|3a-2( 1 4 a2- 1 2 a+1)|

32+(-2)2

=

|a2-8a+4|

2 13

．
所以S_△BPM=

1

2

BP·d=

1

2

×5

13

×

|a2-8a+4|

2 13

=

5

4

|（a-4）²-12|，则当a=4时，S_△BPM最大=

5

4

×12=15，即△BMP面积最大值是15．
解：（1）∵对称轴平行于y轴的抛物线的顶点是A（2，0），
∴设该抛物线的解析式为y=a（x-2）²．
又∵该抛物线经过点B（0，1），
∴1=a（0-2）²，
解得，a=

1

4

．
∴该抛物线的解析式为：y=

1

4

（x-2）²（或y=

1

4

x²-x+1）；

（2）假设在抛物线上存在一点P，使以BP为直径的圆经过抛物线的顶点A，其坐标为P（x，y）．
如图，过点P作PD⊥⊥x轴于D，连接AB、AP．
根据题意知，点A是以BP为直径的圆上的一点，则∠BAP=90°（直径所对的圆周角是直角）．
则易证△AOB∽△PDA，
∴

OB

AD

=

OA

PD

，即

1

x-2

=

2

y

，
∴y=2x-4；
又∵点P是抛物线y=

1

4

（x-2）²上的一点，
∴

y=2x-4 y= 1 4 (x-2)2

，解得

x=2 y=0

或

x=10 y=16

，即点P（2，0）或（10，16）．
①当点P的坐标是（2，0），点P与点A重合，此时该圆的直径AB=

12+22

=

5

；
②当点P的坐标是（10，16），此时该圆的直径BP=

(10-0)2+(16-1)2

=5

13

；

（3）如图2，由（2）知，当点P的坐标是（10，16）时，点A、B、P能构成直角三角形．
由B（0，1），P（10，16）可知，BP=直线BP的解析式为：y=

3

2

x+1，即3x-2y+2=0．
设M（a，

1

4

a²-

1

2

a+1）（2＜a＜16）．则点M到直线的距离d=

|3a-2( 1 4 a2- 1 2 a+1)|

32+(-2)2

=

|a2-8a+4|

2 13

．
所以S_△BPM=

1

2

BP·d=

1

2

×5

13

×

|a2-8a+4|

2 13

=

5

4

|（a-4）²-12|，则当a=4时，S_△BPM最大=

5

4

×12=15，即△BMP面积最大值是15．