试题

（2013·滨湖区二模）如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴的负半轴于点A（-5，0），交y轴于点B，过点B作BC⊥y轴交函数y=ax²+bx+c的图象于点C（-2，4）．

（1）设函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D，求△ABD的面积．
（2）若P为y轴上的一个动点，连接PA、PC，分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q，连接PQ．试探究：
①是否存在这样的点P，使得PQ²=PA²+PC²？为什么？
②是否存在这样的点P，使得PQ取得最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意知B（0，4），
∵C（-2，4），则抛物线对称轴为：x=-1，
根据抛物线的对称性可知：D（3，0）． 
∴S_△ABD=

1

2

×8×4=16．

（2）①不存在这样的点P，使得PQ²=PA²+PC²．
理由如下：
∵AQ∥PC，CQ∥PA，
∴四边形OAQC为平行四边形．∴PC=AQ．
若PQ²=PA²+PC²，则PQ²=PA²+AQ²，
∴∠PAQ=90°．∴∠APC=90°．
若∠APC=90°，
则当点P在线段OB上时，可得△PAO∽△CPB．
∴

PO

CB

=

AO

PB

．
设OP=m，则

m

2

=

5

4-m

，
即m²-4m+10=0．这个方程没有实数根．
而当P点在y轴的负半轴上或在OB的延长线时，∠APC=90°显然不可能成立． 
综上所述，可得：不存在这样的点P，使得PQ²=PA²+PC²． 

②连接AC交PQ于点M，如图所示．
∵四边形PAQC为平行四边形，
∴M为AC、PQ的中点．
PQ取得最小值时，MP必定取得最小值．
显然，当P为OB的中点时，由梯形中位线定理可得MP∥CB，
∴MP⊥y轴．
此时MP取得最小值为：

1

2

×（2+5）=

7

2

．
∴PQ的最小值为7．
 PQ取得最小值时，P（0，2）．
解：（1）由题意知B（0，4），
∵C（-2，4），则抛物线对称轴为：x=-1，
根据抛物线的对称性可知：D（3，0）． 
∴S_△ABD=

1

2

×8×4=16．

（2）①不存在这样的点P，使得PQ²=PA²+PC²．
理由如下：
∵AQ∥PC，CQ∥PA，
∴四边形OAQC为平行四边形．∴PC=AQ．
若PQ²=PA²+PC²，则PQ²=PA²+AQ²，
∴∠PAQ=90°．∴∠APC=90°．
若∠APC=90°，
则当点P在线段OB上时，可得△PAO∽△CPB．
∴

PO

CB

=

AO

PB

．
设OP=m，则

m

2

=

5

4-m

，
即m²-4m+10=0．这个方程没有实数根．
而当P点在y轴的负半轴上或在OB的延长线时，∠APC=90°显然不可能成立． 
综上所述，可得：不存在这样的点P，使得PQ²=PA²+PC²． 

②连接AC交PQ于点M，如图所示．
∵四边形PAQC为平行四边形，
∴M为AC、PQ的中点．
PQ取得最小值时，MP必定取得最小值．
显然，当P为OB的中点时，由梯形中位线定理可得MP∥CB，
∴MP⊥y轴．
此时MP取得最小值为：

1

2

×（2+5）=

7

2

．
∴PQ的最小值为7．
 PQ取得最小值时，P（0，2）．