试题

（2012·许昌一模）如图，已知抛物线，y=ax²+bx+c经过A（2，0）．B（3．-3）及原点O．顶点为C．
（l）求抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标；
（3）P是抛物线上第三象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，清说明理由．

解：（1）∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将A（2，0），B（3，-3）代入，得

4a+2b=0 9a+3b=-3

，
解得

a=-1 b=2

，
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x，
则y=-x²+2x=-（x²-2x）=-（x-1） ²+1，
故C点坐标为：（1，1）；

（2）如图1，①当AO为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
∴DE∥AO，且DE=AO=2．
∵点E在对称轴x=1上，
∴点D的横坐标为-1或3．
即符合条件的点D有两个，分别记为D₁，D₂．
而当x=-1时，y=-3当x=3时，y=-3
则D₁（-1，-3），D₂（3，-3），
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分．
又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（1，1），
综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

（3）存在，
如图2，∵B（3，-3），C（1，1）根据勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20．
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是以∠BOC为直角的直角三角形．
假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与Rt△BOC相似．
设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，
则

AM

BO

=

PM

CO

．

2-x

3 2

=

-(-x2+2x)

2

，
则3x²-5x-2=0，
解之得x1=-

1

3

，x₂=2（舍去）．
当x=-

1

3

时，y=-

7

9

，即点P（-

1

3

，-

7

9

）
②若△PMA∽△BOC，
则

AM

CO

=

PM

BO

．

2-x

2

=

-(-x2+2x)

3 2

则x²+x-6=0
解之得x₁=-3，x₂=2（舍去）．
当x=-3时，y=-15，即点P（-3，-15）．
综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P₁（-

1

3

，-

7

9

），P₂（-3，-15）．
解：（1）∵抛物线过原点O，
∴可设抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将A（2，0），B（3，-3）代入，得

4a+2b=0 9a+3b=-3

，
解得

a=-1 b=2

，
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x，
则y=-x²+2x=-（x²-2x）=-（x-1） ²+1，
故C点坐标为：（1，1）；

（2）如图1，①当AO为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
∴DE∥AO，且DE=AO=2．
∵点E在对称轴x=1上，
∴点D的横坐标为-1或3．
即符合条件的点D有两个，分别记为D₁，D₂．
而当x=-1时，y=-3当x=3时，y=-3
则D₁（-1，-3），D₂（3，-3），
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分．
又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（1，1），
综上所述，符合条件的点D共有三个，分别为（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

（3）存在，
如图2，∵B（3，-3），C（1，1）根据勾股定理得：
BO²=18，CO²=2，BC²=20．
∴BO²+CO²=BC²．
∴△BOC是以∠BOC为直角的直角三角形．
假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与Rt△BOC相似．
设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，
则

AM

BO

=

PM

CO

．

2-x

3 2

=

-(-x2+2x)

2

，
则3x²-5x-2=0，
解之得x1=-

1

3

，x₂=2（舍去）．
当x=-

1

3

时，y=-

7

9

，即点P（-

1

3

，-

7

9

）
②若△PMA∽△BOC，
则

AM

CO

=

PM

BO

．

2-x

2

=

-(-x2+2x)

3 2

则x²+x-6=0
解之得x₁=-3，x₂=2（舍去）．
当x=-3时，y=-15，即点P（-3，-15）．
综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P₁（-

1

3

，-

7

9

），P₂（-3，-15）．