试题

（2007·虹口区二模）如图，二次函数y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，连接AC．
（1）求证：△AOC∽△COB．
（2）过点C作CD∥x轴交二次函数y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的图象于点D，若点M在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点N在线段CD上也以每秒1个单位的速度由点D向点C运动，连接线段MN，设运动时间为t秒．（0＜t≤6）
①是否存在时刻t，使MN=AC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

（1）证明：令y=0，得：-

1

4

x2+

5

2

x-4=0，
解得：x₁=2，x₂=8，
令x=0，得：y=-4，
∴A（2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴

OA

OC

=

2

4

=

1

2

，

OC

OB

=

4

8

=

1

2

，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB，（1分）
∴△AOC∽△COB；

（2）解：①存在，t=5或3，
由题意，得：AM=DN=t，
∵A（2，0），B（8，0），
∴AB=8-2=6，
∴MB=6-t
∵CD∥x轴，点C（0，-4），
∴点D的纵坐标为-4，
∵点D在二次函数y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的图象上，
∴-4=-

1

4

x2+

5

2

x-4，
∴x₁=0，x₂=10，
∴D（10，-4），
∴CD=10，CN=10-t，
Ⅰ当AM=CN，即四边形ACNM是平行四边形时，MN=AC，
此时，t=10-t，
∴t=5，
Ⅱ连接BD，当MB=DN，即四边形MNDB是平行四边形时，
可证：MN=BD=AC，
此时，6-t=t，
∴t=3，
所以，当t=5或3时，MN=AC．
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由
BC所在直线的斜率：

4

8

=

1

2

，
由题意点M（2+t，0），N（10-t，-4），
若MN所在直线的斜率-2，
则

4

2+t-10+t

= -2，
解得t=3，
在其范围故存在．
（1）证明：令y=0，得：-

1

4

x2+

5

2

x-4=0，
解得：x₁=2，x₂=8，
令x=0，得：y=-4，
∴A（2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴

OA

OC

=

2

4

=

1

2

，

OC

OB

=

4

8

=

1

2

，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB，（1分）
∴△AOC∽△COB；

（2）解：①存在，t=5或3，
由题意，得：AM=DN=t，
∵A（2，0），B（8，0），
∴AB=8-2=6，
∴MB=6-t
∵CD∥x轴，点C（0，-4），
∴点D的纵坐标为-4，
∵点D在二次函数y=-

1

4

x2+

5

2

x-4的图象上，
∴-4=-

1

4

x2+

5

2

x-4，
∴x₁=0，x₂=10，
∴D（10，-4），
∴CD=10，CN=10-t，
Ⅰ当AM=CN，即四边形ACNM是平行四边形时，MN=AC，
此时，t=10-t，
∴t=5，
Ⅱ连接BD，当MB=DN，即四边形MNDB是平行四边形时，
可证：MN=BD=AC，
此时，6-t=t，
∴t=3，
所以，当t=5或3时，MN=AC．
②是否存在时刻t，使MN⊥BC？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由
BC所在直线的斜率：

4

8

=

1

2

，
由题意点M（2+t，0），N（10-t，-4），
若MN所在直线的斜率-2，
则

4

2+t-10+t

= -2，
解得t=3，
在其范围故存在．