试题

（2007·崇明县二模）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8：
（1）此抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为所求抛物线上的一动点，试判断以点P为圆心，PB为半径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，设点P在抛物线上且与点A不重合，直线PB与抛物线的另一个交点为Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接PO、QO．求证：△QMO∽△PNO．

解：（1）∵点B（0，2），
∴OB=2，
又∵CF·OB=8，
∴CF=4，
由题意可知，点C（-2，2），点F（2，2），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则

4a-2b+c=2 4a+2b+c=2 c=1

，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x²+1；

（2）设P点的坐标为（x₀，

1

4

x₀²+1），
则PB=

x02+( 1 4 x02-1)2

=

1

4

x₀²+1，
又点P到x轴的距离为

1

4

x₀²+1，
∴以点P为圆心、PB为半径的圆与x轴相切；


（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，
∵PN、QM垂直x轴，
∴QM∥BO∥PN，
∴

QB

BP

=

MO

ON

，
∴

QM

PN

=

MO

NO

，
∵∠QMO=∠PNO=90°，
∴△QMO∽△PNO．
解：（1）∵点B（0，2），
∴OB=2，
又∵CF·OB=8，
∴CF=4，
由题意可知，点C（-2，2），点F（2，2），
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则

4a-2b+c=2 4a+2b+c=2 c=1

，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x²+1；

（2）设P点的坐标为（x₀，

1

4

x₀²+1），
则PB=

x02+( 1 4 x02-1)2

=

1

4

x₀²+1，
又点P到x轴的距离为

1

4

x₀²+1，
∴以点P为圆心、PB为半径的圆与x轴相切；


（3）由（2）可知，PB=PN，QB=QM，
∵PN、QM垂直x轴，
∴QM∥BO∥PN，
∴

QB

BP

=

MO

ON

，
∴

QM

PN

=

MO

NO

，
∵∠QMO=∠PNO=90°，
∴△QMO∽△PNO．