试题

（2012·衢州一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过 A（0，4），B（4，0），C（-1，0）三点．过点A作垂直于y轴的直线l．在抛物线上有一动点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）是否存在点P，使得以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P位于抛物线y=ax²+bx+c的对称轴的右侧．若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．求当点M落在坐标轴上时直线AP的解析式．

解：（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax²+bx+c得，

c=4 16a+4b+c=0 a-b+c=0

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，函数解析式为y=-x²+3x+4．
（2）P在l下方时，令①△AOC∽△AQP，

AO

AQ

=

CO

PQ

，
即

4

x

=

1

4-y

，
由于y=-x²+3x+4，
则有

4

x

=

1

4-(-x2+3x+4)

，
解得x=0（舍去）或x=

13

4

，此时，y=

51

16

，P点坐标为（

13

4

，

51

16

）．
②△AOC∽△PQA，

AQ

CO

=

PQ

AO

，
即

x

1

=

4-y

4

，
由于y=-x²+3x+4，
则有

x

1

=

4-(-x2+3x+4)

4

，
解得，x=0（舍去）或x=7，P点坐标为（7，-24）．
③P在l上方时，令△AOC∽△PQA，

AQ

CO

=

PQ

AO

，
即

x

1

=

y-4

4

，
∵y=-x²+3x+4，
∴

x

1

=

-x2+3x+4-4

4

，
解得，x=0（舍去）或x=-1，P点坐标为（-1，0）．
④△AOC∽△AQP，

AO

AQ

=

CO

PQ

，即

4

x

=

1

y-4

∴

4

x

=

1

-x2+3x+4-4

，
解得，x=0（舍去）或x=

11

4

，P点坐标为（

11

4

，

75

16

）．
（3）如图（1），若对称点M在y轴，则∠PAQ=45°，
设AP解析式为y=kx+b，则k=1或-1，
当k=1时，把A（0，4）代入得y=x+4，
当k=-1时，把A（0，4）代入得y=-x+4，
此时P在对称轴右侧，符合题意，
∴y=x+4，或y=-x+4，
设点Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），则PQ=x²-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
则有

AM

ME

=

MP

PF

，
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x²-3x，
∴

x

4

=

x2-3x

PF

，
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM²+OA²=AM²，
∴（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5，均在抛物线对称轴的右侧，
故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
把（0，4）（4，0）分别代入解析式得

b=4 4k+b=0

，
解得

b=4 k=-1

，
函数解析式为y=-x+4．
把（0，4）（5，-6）分别代入解析式得

b=4 5k+b=-6

，
解得

b=4 k=-2

，
函数解析式为y=-2x+4．
综上所述，函数解析式为y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．
解：（1）将A（0，4），B（4，0），C（-1，0）分别代入抛物线y=ax²+bx+c得，

c=4 16a+4b+c=0 a-b+c=0

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，函数解析式为y=-x²+3x+4．
（2）P在l下方时，令①△AOC∽△AQP，

AO

AQ

=

CO

PQ

，
即

4

x

=

1

4-y

，
由于y=-x²+3x+4，
则有

4

x

=

1

4-(-x2+3x+4)

，
解得x=0（舍去）或x=

13

4

，此时，y=

51

16

，P点坐标为（

13

4

，

51

16

）．
②△AOC∽△PQA，

AQ

CO

=

PQ

AO

，
即

x

1

=

4-y

4

，
由于y=-x²+3x+4，
则有

x

1

=

4-(-x2+3x+4)

4

，
解得，x=0（舍去）或x=7，P点坐标为（7，-24）．
③P在l上方时，令△AOC∽△PQA，

AQ

CO

=

PQ

AO

，
即

x

1

=

y-4

4

，
∵y=-x²+3x+4，
∴

x

1

=

-x2+3x+4-4

4

，
解得，x=0（舍去）或x=-1，P点坐标为（-1，0）．
④△AOC∽△AQP，

AO

AQ

=

CO

PQ

，即

4

x

=

1

y-4

∴

4

x

=

1

-x2+3x+4-4

，
解得，x=0（舍去）或x=

11

4

，P点坐标为（

11

4

，

75

16

）．
（3）如图（1），若对称点M在y轴，则∠PAQ=45°，
设AP解析式为y=kx+b，则k=1或-1，
当k=1时，把A（0，4）代入得y=x+4，
当k=-1时，把A（0，4）代入得y=-x+4，
此时P在对称轴右侧，符合题意，
∴y=x+4，或y=-x+4，
设点Q（x，4），P（x，-x²+3x+4），则PQ=x²-3x=PM，
∵△AEM∽△MFP．
则有

AM

ME

=

MP

PF

，
∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x²-3x，
∴

x

4

=

x2-3x

PF

，
解得：PF=4x-12，
∴OM=（4x-12）-x=3x-12，
Rt△AOM中，由勾股定理得OM²+OA²=AM²，
∴（3x-12）²+4²=x²，解得x₁=4，x₂=5，均在抛物线对称轴的右侧，
故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．
设一次函数解析式为y=kx+b，
把（0，4）（4，0）分别代入解析式得

b=4 4k+b=0

，
解得

b=4 k=-1

，
函数解析式为y=-x+4．
把（0，4）（5，-6）分别代入解析式得

b=4 5k+b=-6

，
解得

b=4 k=-2

，
函数解析式为y=-2x+4．
综上所述，函数解析式为y=x+4，y=-x+4，y=-2x+4．