试题

（2012·南通一模）如图1，抛物线y=nx²-11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）填空：点B的坐标为（），点C的坐标为（）；
（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．
①求此时抛物线的解析式；
②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

解：（1）∵抛物线y=nx²-11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=nx²-11nx+24n，
解得：x₁=3，x₂=8，
∴OB=3，OC=8，
故B点坐标为（3，0），C点坐标为：（8，0）；

（2）①如图1，作AE⊥OC，垂足为点E
∵△OAC是等腰三角形，∴OE=EC=

1

2

×8=4，∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，∴△ACE∽△BAE，∴

AE

BE

=

CE

AE

，
∴AE²=BE·CE=1×4，∴AE=2，
∴点A的坐标为 （4，2），
把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=nx²-11nx+24n，得n=-

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

11

2

x-12，

②∵点M的横坐标为m，且点M在①中的抛物线上，
∴点M的坐标为 （m，-

1

2

m²+

11

2

m-12），由①知，点D的坐标为（4，-2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=

1

2

x-4，
∴点N的坐标为 （m，

1

2

m-4），
∴MN=（-

1

2

m²+

11

2

m-12）-（

1

2

m-4）=-

1

2

m²+5m-8，
∴S_{四边形AMCN}=S_△AMN+S_△CMN=

1

2

MN·CE=

1

2

（-

1

2

m²+5m-8）×4，
=-（m-5）²+9，
∴当m=5时，S_{四边形AMCN}=9．